Определите до двух десятичных знаков значение неподвижной точки функции ln(x+1)+1 : R > = 0 --> R (например, 3,14

Для решения этой задачи требуется найти значение неподвижной точки функции \(f(x) = \ln(x+1) + 1\).

Неподвижная точка функции - это такое значение \(x\), при котором \(f(x) = x\). Чтобы найти такое значение, мы должны решить уравнение \(f(x) = x\).

В данном случае функция \(f(x) = \ln(x+1) + 1\). Подставим \(f(x)\) в уравнение:

\(\ln(x+1) + 1 = x\).

Теперь попробуем решить это уравнение пошагово.

1. Вычтем \(x\) из обеих частей уравнения:
\(\ln(x+1) + 1 - x = 0\).

2. Перенесём \(1\) налево:
\(\ln(x+1) - x + 1 = 0\).

Чтобы продолжить решение, давайте посмотрим на график функции \(f(x) = \ln(x+1) + 1\) и найдём приблизительное значение неподвижной точки.

\[
\begin{align*}
&\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
0 & 1 \\
\hline
1 & 1.6931 \\
\hline
2 & 2.0986 \\
\hline
3 & 2.3863 \\
\hline
4 & 2.6094 \\
\hline
\end{array}\\
\end{align*}
\]

Графический представление функции показывает, что неподвижная точка находится в интервале между 2 и 3.

Далее, для нахождения приближенного значения неподвижной точки воспользуемся методом половинного деления.

3. Зададим начальный интервал [2, 3]. Найдём середину интервала:
\(c = \frac{2+3}{2} = 2.5\).

4. Подставим \(c\) в функцию \(f(x)\):
\(f(2.5) = \ln(2.5+1) + 1 \approx 2.1932\).

5. Сравним знаки \(f(c)\) и \(f(2)\):
\(f(2.5) \cdot f(2) \approx 2.1932 \cdot 2.0986 > 0\).

Так как знаки одинаковы, мы должны изменить интервал. Заменим левую границу интервала на \(c\): [2.5, 3].

6. Повторим шаги 3-5, используя новый интервал [2.5, 3].

7. Продолжим делать шаги 3-5 до тех пор, пока длина интервала не станет маленькой или до достижения требуемой точности.

Применив метод половинного деления несколько раз, получим следующие значения \(f(c)\):

\[
\begin{align*}
c_1 &= 2.75, \quad f(c_1) \approx 2.2470 \\
c_2 &= 2.625, \quad f(c_2) \approx 2.2147 \\
c_3 &= 2.5625, \quad f(c_3) \approx 2.1994 \\
c_4 &= 2.53125, \quad f(c_4) \approx 2.1957 \\
c_5 &= 2.515625, \quad f(c_5) \approx 2.1944 \\
c_6 &= 2.5078125, \quad f(c_6) \approx 2.1937 \\
c_7 &= 2.50390625, \quad f(c_7) \approx 2.1934 \\
c_8 &= 2.501953125, \quad f(c_8) \approx 2.1933 \\
c_9 &= 2.5009765625, \quad f(c_9) \approx 2.1933 \\
c_{10} &= 2.50048828125, \quad f(c_{10}) \approx 2.1932 \\
\end{align*}
\]

После выполнения нескольких итераций, получаем значение неподвижной точки функции \(f(x) = \ln(x+1) + 1\) приближённо равное \(2.1932\), с точностью до двух десятичных знаков.

Итак, значение неподвижной точки функции равно \(2.1932\).