Около треугольника, все стороны которого равны между собой, проведен круг. Радиус вписанного в этот треугольник круга

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о радиусе вписанного и описанного кругов треугольника.

Построив вписанный круг в равносторонний треугольник, мы можем заметить, что радиус вписанного круга является высотой треугольника. Для этого мы используем свойство равностороннего треугольника, которое утверждает, что высота, проведенная к стороне, также является медианой и биссектрисой.

Значит, радиус вписанного круга равен высоте треугольника, и мы знаем, что он равен \(7 - \sqrt{3}\) см. Чтобы найти сторону треугольника и радиус описанного круга, мы можем использовать формулу для равностороннего треугольника, где \(a\) - сторона треугольника:

\[a = 2R \cdot \sin{\frac{\pi}{3}}\]

Где \(R\) - радиус описанного круга.

Теперь давайте найдем сторону и радиус:

\[a = 2 \cdot (7 - \sqrt{3}) \cdot \sin{\frac{\pi}{3}}\]

\[a = 2 \cdot (7 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[a = (7 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}\]

\[a = 7\sqrt{3} - 3\]

Теперь у нас есть сторона треугольника \(a\) и радиус описанного круга \(R = a/2\).

Давайте найдем площади обоих кругов.

Площадь меньшего круга (вписанного круга) можно посчитать по формуле \(S = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус вписанного круга.

Площадь меньшего круга:

\[S_{\text{меньшего круга}} = 3 \cdot (7 - \sqrt{3})^2 \approx 3 \cdot (7 - \sqrt{3})^2 \approx 3 \cdot (7^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)\]

\[S_{\text{меньшего круга}} \approx 3 \cdot (49 - 14\sqrt{3} + 3) \approx 3 \cdot (52 - 14\sqrt{3})\]

\[S_{\text{меньшего круга}} \approx 3 \cdot 52 - 3 \cdot 14\sqrt{3} \approx 156 - 42\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь меньшего круга составляет примерно \(156 - 42\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

А теперь давайте найдем площадь большего круга (описанного круга). Площадь большего круга равна \(S_{\text{большего круга}} = \pi \cdot R^2\), где \(R\) - радиус описанного круга.

Площадь большего круга:

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (\frac{7\sqrt{3} - 3}{2})^2\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (\frac{(7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 3 + 3^2}{4})\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (\frac{147 - 42\sqrt{3} + 9}{4})\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (\frac{156 - 42\sqrt{3}}{4})\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (\frac{156}{4} - \frac{42\sqrt{3}}{4})\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (39 - \frac{42\sqrt{3}}{4})\]

\[S_{\text{большего круга}} = 3 \cdot (39 - 10.5\sqrt{3})\]

\[S_{\text{большего круга}} \approx 3 \cdot (39 - 10.5 \cdot 1.73) \approx 3 \cdot (39 - 18.165) \approx 3 \cdot 20.835\]

\[S_{\text{большего круга}} \approx 62.505\]

Таким образом, площадь большего круга составляет примерно \(62.505\) квадратных сантиметров.

Итак, ответ: \(S_{\text{меньшего круга}} \approx 156 - 42\sqrt{3}\) квадратных сантиметров; \(S_{\text{большего круга}} \approx 62.505\) квадратных сантиметров.