Объясните, как найти последнюю цифру числа, полученного в результате возведения 12 в степень 39 и прибавления к нему

Для решения данной задачи нам потребуется знание основной свойств операций возведения в степень и сложения. Начнем с вычисления \(12^{39}\).

Для того чтобы найти последнюю цифру числа, полученного в результате возведения числа в степень, мы можем использовать понятие остатка от деления.

Остаток от деления числа на 10 показывает, какая последняя цифра числа. Например, остаток от деления числа 27 на 10 равен 7.

Теперь применим это свойство к нашему случаю. Давайте найдем остаток от деления \(12^{39}\) на 10, чтобы узнать последнюю цифру этого числа.

Сначала вспомним, что любое число можно представить в виде произведения простых множителей. Например, число 12 можно представить как \(2^2 \cdot 3^1\).

Теперь посмотрим на возведение в степень. Чтобы возвести число в степень, мы перемножаем его само с собой нужное количество раз. Например, \(2^3\) равно \(2 \cdot 2 \cdot 2\).

Согласно свойству возведения в степень, мы можем перемножить степени каждого из множителей числа для получения степени самого числа. Например, \((2 \cdot 3)^2\) равно \(2^2 \cdot 3^2\).

Теперь давайте применим эту информацию к задаче. \(12^{39}\) можно представить как \((2^2 \cdot 3^1)^{39}\).

Пользуясь свойством возведения в степень, мы можем получить \((2^2)^{39} \cdot (3^1)^{39}\).

После упрощения этого выражения, получим \(2^{78} \cdot 3^{39}\).

Теперь нам необходимо найти остаток от деления этого числа на 10. Для этого найдем остаток от деления каждого множителя на 10 и перемножим их.

Остаток от деления \(2^{78}\) на 10 равен 6. Для проверки этого свойства, давайте рассмотрим первые несколько степеней числа 2 в разложении по модулю 10: \(2^1 \equiv 2\) (mod 10), \(2^2 \equiv 4\) (mod 10), \(2^3 \equiv 8\) (mod 10), \(2^4 \equiv 6\) (mod 10), \(2^5 \equiv 2\) (mod 10). Здесь mod - означает операцию остатка от деления.

Аналогично, остаток от деления \(3^{39}\) на 10 равен 1.

Теперь перемножим остатки: 6 \(\cdot\) 1 = 6.

Получили, что последняя цифра числа, полученного в результате \(12^{39}\), равна 6.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи: прибавление к числу \(13^{39}\).

Применим аналогичные шаги для нахождения последней цифры числа \(13^{39}\).

Разложим 13 на простые множители: \(13 = 13^1\).

Остаток от деления \(13^{39}\) на 10 равен 3.

Теперь прибавим этот остаток к остатку от деления предыдущего числа на 10: 6 + 3 = 9.

Таким образом, последняя цифра числа, полученного в результате возведения \(12^{39}\) в степень и прибавления к нему \(13^{39}\) в степень, равна 9.