Нужно изменить текст вопроса. Тема контрольной работы в 10 классе - степень с действительным показателем. Вопрос

Конечно, я помогу с изменением текста вопроса, решением и подробными объяснениями. Давайте начнем с вопроса 1.

Вопрос 1: Преобразуйте выражение \(3^{-3} \times 81^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} \div 3^{-2}\).

Решение:
Для преобразования данного выражения нам необходимо использовать правила работы со степенями.

1. Начнем с \((3^{-3})\).
Чтобы возвести число в отрицательную степень, мы можем взять его обратное значение. Таким образом, \((3^{-3})\) равно \(\frac{1}{3^{3}}\) или \(\frac{1}{27}\).

2. Затем рассмотрим \(81^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}\).
Вычитание дробей \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{4}\) дает нам \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\). Таким образом, \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\) равно \(\frac{1}{4}\).
Теперь мы можем возвести \(81\) в степень \(\frac{1}{4}\). Это будет квадратный корень из 81.
Учитывая, что \(9^2 = 81\), получаем \(\sqrt{81} = 9\).

3. Далее посмотрим на \(3^{-2}\).
Аналогично первому случаю, \((3^{-2})\) равно \(\frac{1}{3^{2}}\) или \(\frac{1}{9}\).

Теперь, когда мы определили значения каждой части выражения, посмотрим, как их умножить и поделить.
Мы можем записать это следующим образом:

\(\frac{1}{27} \times 9 \div \frac{1}{9}\).

Умножение \(\frac{1}{27}\) на 9 дает \(\frac{1}{27} \times 9 = \frac{1 \times 9}{27} = \frac{9}{27}\).
Затем производим деление \(\frac{9}{27}\) на \(\frac{1}{9}\).
Для деления дробей мы можем умножить первую дробь на обратную второй. В этом случае мы делим \(\frac{9}{27}\) на \(\frac{1}{9}\), что эквивалентно \(\frac{9}{27} \times \frac{9}{1}\).
Мы умножаем числители и знаменатели: \(\frac{9 \times 9}{27 \times 1}\).
Получаем \(\frac{81}{27}\).
Далее при необходимости сократим дробь наибольшим общим делителем.
Найдем НОД(81, 27) = 27.
Делим числитель и знаменатель на 27: \(\frac{81 \div 27}{27 \div 27} = \frac{3}{1} = 3\).

Итак, итоговый ответ: \(3\).

Перейдем к вопросу 2.

Вопрос 2: Представьте выражение в виде степени с основанием \(b\): \(\frac{b}{b} \times \sqrt{3}^{\sqrt{3}}\).

Решение:
Чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием \(b\), нам нужно применить правила работы со степенями.

1. Начнем с \(\frac{b}{b}\).
Любое число, деленное на себя, равно 1. Таким образом, \(\frac{b}{b} = 1\).

2. Затем рассмотрим \(\sqrt{3}^{\sqrt{3}}\).
В данном случае, основание и показатель степени равны, поэтому мы можем записать это как \((\sqrt{3})^{\sqrt{3}} = 3\).

Теперь, объединяя эти две части, мы получаем:

\(1 \times 3 = 3\).

Ответ: \(3\).

Перейдем к вопросу 3.

Вопрос 3: Упростите дробь \(\frac{\sqrt{a}^3}{a-2\sqrt{a}^{\frac{1}{2}}+1}\).

Решение:
Для упрощения данной дроби мы применим правила работы со степенями и алгебраическими выражениями.

1. Рассмотрим \(\sqrt{a}^3\).
Чтобы возведение корня в степень 3, мы умножаем показатель степени и корень. Таким образом, \(\sqrt{a}^3 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\sqrt{a}\).

2. Затем рассмотрим \(a-2\sqrt{a}^{\frac{1}{2}}+1\).
Для удобства примем \(\sqrt{a}^{\frac{1}{2}}\) за \(b\). Получим \(a-2b+1\).

Теперь мы можем заменить \(\sqrt{a}^{\frac{1}{2}}\) на \(b\) в дроби. Получаем:

\(\frac{a\sqrt{a}}{a-2\sqrt{a}^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{a\sqrt{a}}{a-2b+1}\).

Итоговый ответ: \(\frac{a\sqrt{a}}{a-2b+1}\).