Необходимо проанализировать функцию f(x) с использованием дифференциального исчисления и создать график

Хорошо, давайте решим задачу по анализу функции и построению ее графика.

Для начала, мы имеем функцию \(f(x) = \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36)\). Наша задача состоит в том, чтобы проанализировать эту функцию и построить ее график.

1. Найдем производную функции \(f"(x)\) с использованием дифференциального исчисления. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

\[
f"(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(14x^2) + \frac{d}{dx}(49x) - \frac{d}{dx}(36)\right)
\]

2. Теперь найдем производные каждого слагаемого:
- \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(14x^2) = 28x\)
- \(\frac{d}{dx}(49x) = 49\)
- \(\frac{d}{dx}(36) = 0\)

3. Подставим полученные производные в выражение для \(f"(x)\):

\[
f"(x) = \frac{1}{3} \cdot (3x^2 - 28x + 49)
\]

4. Теперь проанализируем полученную производную \(f"(x)\) для определения точек экстремума и интервалов возрастания/убывания функции \(f(x)\).

Для этого решим уравнение \(f"(x) = 0\) и найдем значения x, при которых производная равна нулю:

\[
\frac{1}{3} \cdot (3x^2 - 28x + 49) = 0
\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[
x^2 - \frac{28}{3}x + \frac{49}{3} = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Подставим значения a = 1, b = -\frac{28}{3}, c = \frac{49}{3} в формулу дискриминанта:

\[
D = \left(-\frac{28}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{49}{3}
\]

Выполним вычисления:

\[
D = \frac{784}{9} - \frac{196}{3} = \frac{784}{9} - \frac{588}{9} = \frac{196}{9}
\]

Теперь найдем значения x с использованием формулы корней квадратного уравнения:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{28}{3} \pm \sqrt{\frac{196}{9}}}{2 \cdot 1}
\]

Упростим это выражение:

\[
x_{1,2} = \frac{\frac{28}{3} \pm \frac{14}{3}}{2} = \frac{28 \pm 14}{6}
\]

Таким образом, получаем два значения x: x_1 = 8 и x_2 = \frac{2}{3}.

Эти значения x являются точками экстремума функции \(f(x)\). Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, нужно провести дополнительный анализ, например, с помощью второй производной. Однако, для данной задачи нам будет достаточно построить график функции, чтобы наглядно увидеть экстремумы и интервалы возрастания/убывания.

5. Построим график функции \(f(x)\). Для этого зададим несколько значений x, рассчитаем соответствующие значения функции \(f(x)\) и нарисуем точки на координатной плоскости.

Выберем несколько значений x, например: x = -5, -3, 0, 1, 3, 5.

Подставим эти значения x в функцию \(f(x)\) и найдем соответствующие значения функции:

\[
f(-5) = \frac{1}{3}((-5)^3 - 14(-5)^2 + 49(-5) - 36)
\]

\[
f(-3) = \frac{1}{3}((-3)^3 - 14(-3)^2 + 49(-3) - 36)
\]

\[
f(0) = \frac{1}{3}(0^3 - 14(0)^2 + 49(0) - 36)
\]

\[
f(1) = \frac{1}{3}(1^3 - 14(1)^2 + 49(1) - 36)
\]

\[
f(3) = \frac{1}{3}(3^3 - 14(3)^2 + 49(3) - 36)
\]

\[
f(5) = \frac{1}{3}(5^3 - 14(5)^2 + 49(5) - 36)
\]

Выполним вычисления и найдем соответствующие значения функции.