Контрольная работа N2: Преобразование рациональных выражений 1. Проведите необходимые действия: Вариант 1: a) (4x^2

Контрольная работа N2: Преобразование рациональных выражений

1. Проведем необходимые действия:

а) Разделим выражение (4x^2 + 4x + 4) на (-9):

\[\frac{{4x^2 + 4x + 4}}{{-9}}\]

Для начала, поменяем знак числителя, чтобы избавиться от отрицательного знака в знаменателе:

\[\frac{{-(4x^2 + 4x + 4)}}{{9}}\]

Теперь, раскроем скобку в числителе, применив дистрибутивность:

\[\frac{{-4x^2 - 4x - 4}}{{9}}\]

Теперь, каждый член числителя разделим на 9:

\[-\frac{{4x^2}}{{9}} - \frac{{4x}}{{9}} - \frac{{4}}{{9}}\]

Таким образом, ответом будет:

\(-\frac{{4x^2}}{{9}} - \frac{{4x}}{{9}} - \frac{4}{9}\)

б) В данном случае просто запишем число 3 как рациональное выражение:

3 = \(\frac{3}{{1}}\)

Таким образом, ответом будет \(\frac{3}{{1}}\).

в) Разделим выражение (y^2 + 2x - 4) на (9x^2 + 2x + 8x^2):

\[\frac{{y^2 + 2x - 4}}{{9x^2 + 2x + 8x^2}}\]

В данном случае нет возможности упростить выражение, поэтому ответом будет:

\(\frac{{y^2 + 2x - 4}}{{9x^2 + 2x + 8x^2}}\).

2. Упростим данное выражение:

6x + 9x + 6x - 4x - 2x + 2 + b - a + b - a^2 + b^3

Сгруппируем однотипные члены:

(6x + 9x + 6x - 4x - 2x) + (2 + b - a + b) - a^2 + b^3

Сложим члены внутри каждой скобки:

17x + 4 + 2b - 2a - a^2 + b^3

Таким образом, упрощенное выражение будет:

17x + 4 + 2b - 2a - a^2 + b^3.

3. Докажем тождество:

b * ab + a^2 * (b - a)^9

Раскроем скобку (b -a) в степени 9, используя бином Ньютона:

b * ab + a^2 * (b^9 - 9b^8a + 36b^7a^2 - 84b^6a^3 + 126b^5a^4 - 126b^4a^5 + 84b^3a^6 - 36b^2a^7 + 9ba^8 - a^9)

Распишем произведение каждого члена:

ab^2 + a^2b^9 - 9a^2b^8 + 36a^3b^7 - 84a^4b^6 + 126a^5b^5 - 126a^6b^4 + 84a^7b^3 - 36a^8b^2 + 9a^9b - a^2 + b^3

Таким образом, тождество доказано:

ab^2 + a^2b^9 - 9a^2b^8 + 36a^3b^7 - 84a^4b^6 + 126a^5b^5 - 126a^6b^4 + 84a^7b^3 - 36a^8b^2 + 9a^9b - a^2 + b^3.

4. Найдем значение х, при котором значение дроби меньше 1:

Значение дроби (x + 4) / (2x + 5) меньше 1, если числитель (x + 4) меньше знаменателя (2x + 5):

x + 4 < 2x + 5.

Перенесем все члены с x на одну сторону уравнения:

x - 2x < 5 - 4.

-x < 1.

Умножим обе части неравенства на -1 для изменения знака:

x > -1.

Таким образом, при любом значении x, большем -1, значение дроби будет меньше 1.