Необходимо подтвердить, что треугольник ABC прямоугольный, имея точки A(-5; 2; 0), B(-4; 3; 0) и C(-5; 2; -2). Также

Для начала, давайте проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным или нет. Чтобы это сделать, нам нужно убедиться, что одна из сторон треугольника является гипотенузой, а две другие стороны являются катетами.

Для этого найдем длины сторон AB, BC и CA, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Длина стороны AB:
\[
d_{AB} = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}
\]
\[
d_{AB} = \sqrt{{(-4 - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2}}
\]
\[
d_{AB} = \sqrt{{1^2 + 1^2 + 0^2}}
\]
\[
d_{AB} = \sqrt{{2}}
\]

Длина стороны BC:
\[
d_{BC} = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}}
\]
\[
d_{BC} = \sqrt{{(-5 - (-4))^2 + (2 - 3)^2 + (-2 - 0)^2}}
\]
\[
d_{BC} = \sqrt{{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}
\]
\[
d_{BC} = \sqrt{{6}}
\]

Длина стороны CA:
\[
d_{CA} = \sqrt{{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}}
\]
\[
d_{CA} = \sqrt{{(-5 - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + (0 - (-2))^2}}
\]
\[
d_{CA} = \sqrt{{0^2 + 0^2 + 2^2}}
\]
\[
d_{CA} = \sqrt{{4}}
\]

Теперь, чтобы убедиться, что треугольник ABC прямоугольный, мы должны проверить, соблюдается ли теорема Пифагора. В случае прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Давайте проверим это для сторон треугольника ABC:

AB - гипотенуза:
\[
d_{AB}^2 = (\sqrt{2})^2
\]
\[
d_{AB}^2 = 2
\]

BC - катет 1:
\[
d_{BC}^2 = (\sqrt{6})^2
\]
\[
d_{BC}^2 = 6
\]

CA - катет 2:
\[
d_{CA}^2 = (\sqrt{4})^2
\]
\[
d_{CA}^2 = 4
\]

Теперь сложим квадраты длин катетов:
\[
d_{BC}^2 + d_{CA}^2 = 6 + 4
\]
\[
d_{BC}^2 + d_{CA}^2 = 10
\]

Видим, что квадрат длины гипотенузы AB равен сумме квадратов длин катетов BC и CA. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

Теперь, чтобы найти длину средней линии треугольника, соединяющей его катеты, мы можем воспользоваться формулой:

\[
l = \frac{{d_{BC} + d_{CA}}}{2}
\]
\[
l = \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{4}}}{2}
\]
\[
l = \frac{{\sqrt{6} + 2}}{2}
\]

Таким образом, длина средней линии треугольника ABC, соединяющей его катеты, равна \(\frac{{\sqrt{6} + 2}}{2}\).