Необходимо подтвердить, что при любых допустимых значениях переменной b значение следующих выражений будет изменяться

Давайте решим первое выражение:

\[14b - \frac{{b^2 - 50}}{{b^2 + 2b + 1}}\]

Сначала упростим выражение в знаменателе:

\[b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2\]

Заметим, что это является полным квадратом.

Теперь заменим \((b^2 - 50)\) на \((b+5)(b-5)\), применив формулу разности квадратов.

Получим:

\[14b - \frac{{(b+5)(b-5)}}{{(b+1)^2}}\]

Далее распространяем дробь:

\[14b - \frac{{b+5}}{{b+1}} \cdot \frac{{b-5}}{{b+1}}\]

Теперь, чтобы определить, когда это выражение будет отрицательным, нужно рассмотреть знаки каждого множителя:

1) Если \(b+5\) и \(b+1\) имеют одинаковый знак, то их частное будет положительным. Для этого нам нужно, чтобы \(b+5 > 0\) и \(b+1 > 0\), т.е. \(b > -5\) и \(b > -1\). Это выполняется для всех значениях \(b\) больше -1.

2) Если \(b-5\) и \(b+1\) имеют разный знак, то другой множитель будет отрицательным. Следовательно, мы хотим, чтобы \(b+5 < 0\) и \(b+1 > 0\) и наоборот, т.е. \(b < -5\) и \(b > -1\). Это никогда не выполняется, поэтому этот случай нам не подходит.

Итак, мы получили, что значение выражения будет отрицательным для всех \(b\) больше -1. Что и требовалось доказать.

Теперь перейдем ко второму выражению:

\[b^2 - 16b + \frac{64}{b^6 + 1}\]

Заметим, что \((b^6 + 1)\) не может быть отрицательным, так как является суммой квадратов и всегда положительным или нулем.

Также заметим, что \((16b - b^2)\) является полным квадратом.

Итак, чтобы выражение было неотрицательным, нам нужно, чтобы \((16b - b^2)\) было неотрицательным и \((b^6 + 1)\) было больше нуля.

Так как \((16b - b^2)\) положительно при \(0 < b < 16\) и \((b^6 + 1)\) всегда положительно, выражение будет неотрицательным при всех значениях \(b\) в этом интервале.

Итак, чтобы подтвердить, что данные выражения будут меняться, мы получили следующие условия:

1) \(b > -1\)
2) \(0 < b < 16\)

Если переменная \(b\) удовлетворяет этим условиям, то значения данных выражений будут меняться в зависимости от значения \(b\).

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!