Nеобходимо доказать, что прямая, заданная уравнением x+1/2=y+1/-1=z-3/3, параллельна плоскости, заданной уравнением

Для начала, давайте рассмотрим уравнение прямой:

x + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{-1} = z - \frac{3}{3}

Чтобы понять, параллельна ли эта прямая плоскости с уравнением 2x + y - 1 = 0, мы можем использовать нормальный вектор плоскости и вектор направления прямой.

Нормальный вектор плоскости можно получить из коэффициентов уравнения плоскости. В данном случае, у нас есть:

2x + y - 1 = 0

Таким образом, нормальный вектор плоскости будет (2, 1, 0).

Вектор направления прямой можно получить из коэффициентов перед переменными x, y и z в уравнении прямой. В данном случае, у нас есть:

x + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{-1} = z - \frac{3}{3}

Берем коэффициенты перед x, y и z и получаем вектор направления прямой: (1, -1, 1).

Теперь, чтобы проверить, параллельна ли прямая плоскости, мы сравниваем нормальный вектор плоскости с вектором направления прямой. Если они параллельны, то и прямая будет параллельна плоскости.

В нашем случае, нормальный вектор плоскости (2, 1, 0) и вектор направления прямой (1, -1, 1) не коллинеарны (не пропорциональны), поэтому прямая не параллельна плоскости.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Нам нужно доказать, что прямая заданная уравнением x + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{-1} = z + \frac{3}{3} принадлежит плоскости с уравнением 2x + y - 1 = 0.

Чтобы это сделать, мы должны показать, что все точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости.

Для этого, подставим значения x, y и z из уравнения прямой в уравнение плоскости и проверим, выполняется ли равенство.

Подставляем значения x, y и z:

2 \cdot (x + \frac{1}{2}) + (y - \frac{1}{-1}) - 1 = 0

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

2x + 1 + y + 1 - 1 = 0

Упрощаем:

2x + y + 1 = 0

Как видим, полученное уравнение 2x + y + 1 = 0 равно уравнению плоскости. Это означает, что прямая и плоскость пересекаются, и прямая принадлежит плоскости.

Таким образом, мы доказали, что прямая, заданная уравнением x + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{-1} = z - \frac{3}{3}, не параллельна, а прямая, заданная уравнением x + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{-1} = z + \frac{3}{3}, принадлежит плоскости с уравнением 2x + y - 1 = 0.