Необходимо доказать, что произведение двух многочленов с целыми коэффициентами, которые являются хорошими, также

Для того чтобы доказать, что произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим многочленом, мы должны рассмотреть определение хорошего многочлена и применить его к произведению данных многочленов.

Перед тем, как приступить к доказательству, давайте разберемся, что такое хороший многочлен. Мы называем многочлен "хорошим", если все его коэффициенты являются целыми числами и старший коэффициент равен 1. То есть, если у нас есть многочлен вида:
\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x^1 + a_0,\]
где каждый коэффициент \(a_i\) является целым числом, а \(a_n = 1\), то этот многочлен является хорошим.

Итак, пусть у нас есть два хороших многочлена с целыми коэффициентами:
\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x^1 + a_0,\]
\[g(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x^1 + b_0,\]
где \(a_n = 1\) и \(b_m = 1\).

Теперь давайте рассмотрим произведение этих многочленов:
\[h(x) = f(x) \cdot g(x).\]

Мы хотим показать, что многочлен \(h(x)\) является хорошим многочленом, то есть, все его коэффициенты также должны быть целыми числами и старший коэффициент должен быть равен 1.

Для начала, мы знаем, что в произведении \(h(x)\) будут все возможные произведения членов многочленов \(f(x)\) и \(g(x)\). Из определения хорошего многочлена мы знаем, что все коэффициенты этих многочленов целые числа, так как \(a_i\) и \(b_i\) целые числа. Также из определения произведения многочленов мы знаем, что степень произведения будет равна сумме степеней умножаемых многочленов, то есть \(n + m\).

Теперь нам нужно проверить, что старший коэффициент \(h(x)\) равен 1. Для этого, мы должны рассмотреть коэффициент при старшей степени \(x^{n+m}\). В произведении \(h(x)\) этот коэффициент будет равен сумме произведений коэффициентов при степенях, дающих старшую степень. То есть:
\[a_nb_m = 1 \cdot 1 = 1.\]

Таким образом, мы видим, что старший коэффициент \(h(x)\) равен 1.

Далее, чтобы доказать, что все остальные коэффициенты \(h(x)\) целые числа, мы можем использовать ассоциативность и коммутативность умножения целых чисел. Так как значения \(a_i\) и \(b_i\) -- целые числа, а умножение целых чисел дает целые числа, то все произведения \(a_ib_j\) будут целыми числами.

Таким образом, мы показали, что произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим многочленом. Все его коэффициенты являются целыми числами, а старший коэффициент равен 1.