Необходимо доказать, что при взятии точки внутри двугранного угла с углом α на расстоянии а и в от граней этого угла

Для начала, нам необходимо взглянуть на схему для более ясного представления задачи. Представим себе двугранный угол с углом α, затем внутри угла, на расстоянии а от его вершины, мы выбираем точку P. Расстояние от точки P до ребра угла (грани угла) обозначим как d.

Теперь, воспользуемся тригонометрическими свойствами для доказательства данного утверждения.

*Шаг 1:* Рассмотрим треугольник APC (где A и C - вершины угла, а точка P находится на расстоянии а от вершины A).

*Шаг 2:* По теореме косинусов для треугольника APC, мы можем записать:
\[
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha}
\]

*Шаг 3:* Заметим, что у нас возник термин \(\sin{\alpha}\) в знаменателе выражения, поэтому попробуем его избавиться. Раскроем квадрат и получим:
\[
d^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha} - a^2\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}
\]

*Шаг 4:* Теперь, если мы выразим \(\sin^2{\alpha}\) через \(\cos{\alpha}\) с помощью известного тригонометрического тождества \(\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha}\), получим:
\[
d^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha} - a^2\frac{1 - \cos^2{\alpha}}{1-\cos^2{\alpha}}
\]

*Шаг 5:* После упрощения последнего уравнения, мы придем к искомому результату:
\[
d^2 = (a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha})\frac{1}{\sin^2{\alpha}} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}
\]

Таким образом, мы доказали, что расстояние точки P от ребра угла равно \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}}\).