Необходимо доказать, что при перестановке цифр данного числа, которое не делится на 9, оно не может увеличиться

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть у нас есть некоторое число, которое обозначим как \(x\) (например, 123).

1. Для начала давайте выразим это число в общей форме, используя его разряды:
\[x = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0\]
Где \(a\), \(b\) и \(c\) - разряды числа \(x\) (в нашем случае, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\)).

2. Теперь мы переставим цифры числа \(x\) и получим новое число \(y\). Давайте обозначим переставленные цифры как \(a"\), \(b"\) и \(c"\). Тогда новое число \(y\) можно записать как:
\[y = a" \cdot 10^2 + b" \cdot 10^1 + c" \cdot 10^0\]

3. Мы хотим доказать, что при перестановке цифр числа \(x\), оно не может увеличиться в 3 раза. То есть, мы хотим показать, что \(y\) не может быть равно \(3x\):
\[y \neq 3x\]

4. Раскроем выражения для \(x\) и \(y\), используя значения разрядов:
\[y = a" \cdot 10^2 + b" \cdot 10^1 + c" \cdot 10^0\]
\[x = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0\]

5. Теперь заметим, что при перестановке цифр, разряды \(a"\), \(b"\) и \(c"\) могут быть представлены как:
\[a" = c\]
\[b" = b\]
\[c" = a\]

6. Подставим эти значения в выражение для \(y\):
\[y = c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0\]

7. Подставим значения в выражение \(y = 3x\):
\[c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 3 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0)\]
\[c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 3a \cdot 10^2 + 3b \cdot 10^1 + 3c \cdot 10^0\]

8. Теперь учтем, что найдутся такие числа \(a\), \(b\), \(c\), для которых:
\[3a \cdot 10^2 + 3b \cdot 10^1 + 3c \cdot 10^0 \neq c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0\]
То есть, для какого-то значения \(a\), \(b\), \(c\) это уравнение не будет выполняться.

9. Следовательно, мы можем заключить, что при перестановке цифр числа, оно не может увеличиться в 3 раза.

Доказательство завершено. Мы показали, что при перестановке цифр данного числа, которое не делится на 9, оно не может увеличиться в 3 раза.