Необходимо доказать, что отрезки CK и DE являются перпендикулярными

Чтобы доказать, что отрезки \(CK\) и \(DE\) являются перпендикулярными, мы должны показать, что угол между ними равен 90 градусам. Для этого будем использовать два факта: свойства перпендикулярных отрезков и свойства прямоугольника.

1. Свойства перпендикулярных отрезков:
Если два отрезка перпендикулярны, значит, их угол равен 90 градусам, и произведение их коэффициентов наклона равно -1.

2. Свойства прямоугольника:
В прямоугольнике противоположные стороны равны и перпендикулярны.

Теперь проведем рассуждения для доказательства:

1. Пусть \(K\) - точка на отрезке \(DE\), лежащая между точками \(D\) и \(E\). Представим точки \(C\), \(K\) и \(E\) в виде векторов \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{CK}\) и \(\overrightarrow{CE}\).
2. Так как \(CK\) и \(DE\) являются отрезками, то мы можем записать их как суммы векторов: \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KE}\).
3. Заметим, что \(\overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{KC}\) и \(\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{ED}\) (так как отрезки имеют противоположное направление векторов).
4. Подставим значения векторов в уравнение: \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KE}\).
5. Сложим оба уравнения: \(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} - \overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KE}\).
6. Получим \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KE}\).
7. Теперь рассмотрим угол между векторами \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CK}\).
8. Если мы установим, что \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CK}\) являются перпендикулярными, то мы докажем, что отрезки \(CK\) и \(DE\) также перпендикулярны.
9. Для этого найдем произведение коэффициентов наклона для векторов \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CK}\).
10. Запишем векторы \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CK}\) в виде координат и найдем их коэффициенты наклона.
11. Если произведение коэффициентов наклона равно -1, то векторы перпендикулярны.
12. Подставим значения координат и рассчитаем коэффициенты наклона:
\(\overrightarrow{CE} = (x_e - x_c, y_e - y_c)\),
\(\overrightarrow{CK} = (x_k - x_c, y_k - y_c)\).
13. Найдем коэффициенты наклона:
Коэффициент наклона \(\overrightarrow{CE}\) - \(k_{ce} = \frac{y_e - y_c}{x_e - x_c}\),
Коэффициент наклона \(\overrightarrow{CK}\) - \(k_{ck} = \frac{y_k - y_c}{x_k - x_c}\).
14. Проверим свойство перпендикулярности, вычислив произведение коэффициентов наклона:
\(k_{ce} \cdot k_{ck} = \frac{y_e - y_c}{x_e - x_c} \cdot \frac{y_k - y_c}{x_k - x_c}\).
15. Если полученное произведение равно -1, это будет означать, что отрезки \(CK\) и \(DE\) перпендикулярны.

Итак, чтобы доказать, что отрезки \(CK\) и \(DE\) являются перпендикулярными, мы должны вычислить произведение коэффициентов наклона векторов \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CK}\) и показать, что оно равно -1.