Необходимо доказать, что отрезки CK и DE являются перпендикулярными

Чтобы доказать, что отрезки $CK$ и $DE$ являются перпендикулярными, мы должны показать, что угол между ними равен 90 градусам. Для этого будем использовать два факта: свойства перпендикулярных отрезков и свойства прямоугольника.

1. Свойства перпендикулярных отрезков:
Если два отрезка перпендикулярны, значит, их угол равен 90 градусам, и произведение их коэффициентов наклона равно -1.

2. Свойства прямоугольника:
В прямоугольнике противоположные стороны равны и перпендикулярны.

Теперь проведем рассуждения для доказательства:

1. Пусть $K$ - точка на отрезке $DE$, лежащая между точками $D$ и $E$. Представим точки $C$, $K$ и $E$ в виде векторов $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CK}$ и $\overrightarrow{CE}$.
2. Так как $CK$ и $DE$ являются отрезками, то мы можем записать их как суммы векторов: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KD}$ и $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KE}$.
3. Заметим, что $\overrightarrow{CK}=-\overrightarrow{KC}$ и $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{ED}$ (так как отрезки имеют противоположное направление векторов).
4. Подставим значения векторов в уравнение: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}$ и $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KE}$.
5. Сложим оба уравнения: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}-\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KE}$.
6. Получим $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KE}$.
7. Теперь рассмотрим угол между векторами $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{CK}$.
8. Если мы установим, что $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{CK}$ являются перпендикулярными, то мы докажем, что отрезки $CK$ и $DE$ также перпендикулярны.
9. Для этого найдем произведение коэффициентов наклона для векторов $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{CK}$.
10. Запишем векторы $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{CK}$ в виде координат и найдем их коэффициенты наклона.
11. Если произведение коэффициентов наклона равно -1, то векторы перпендикулярны.
12. Подставим значения координат и рассчитаем коэффициенты наклона:
$\overrightarrow{CE}=(x_e-x_c,y_e-y_c)$,
$\overrightarrow{CK}=(x_k-x_c,y_k-y_c)$.
13. Найдем коэффициенты наклона:
Коэффициент наклона $\overrightarrow{CE}$ - $k_{ce}=\frac{y_e-y_c}{x_e-x_c}$,
Коэффициент наклона $\overrightarrow{CK}$ - $k_{ck}=\frac{y_k-y_c}{x_k-x_c}$.
14. Проверим свойство перпендикулярности, вычислив произведение коэффициентов наклона:
$k_{ce}\cdot k_{ck}=\frac{y_e-y_c}{x_e-x_c}\cdot \frac{y_k-y_c}{x_k-x_c}$.
15. Если полученное произведение равно -1, это будет означать, что отрезки $CK$ и $DE$ перпендикулярны.

Итак, чтобы доказать, что отрезки $CK$ и $DE$ являются перпендикулярными, мы должны вычислить произведение коэффициентов наклона векторов $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{CK}$ и показать, что оно равно -1.