Напишите формулу для радиуса сферы в терминах p, v и l, где p - расстояние между параллельными сечениями сферы

Конечно! Формула для радиуса сферы в терминах p, v и l выглядит следующим образом:

\[R = \frac{{vl}}{{v-l}}+\frac{{pl}}{{2(v-l)}}\]

Давайте разберемся, как получить эту формулу. Рассмотрим сферу и параллельные сечения, расстояние между которыми равно p. Пусть одно из этих сечений имеет радиус v, а другое - радиус l.

Чтобы найти радиус R сферы, построим касательную, соединяющую эти два сечения. Обозначим точку касания как T.

Так как касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания T, то треугольник OVT (где O - центр сферы) является прямоугольным. Здесь VO = v, OT = l, и VОT = p (в следствие параллельности сечений).

Используя теорему Пифагора в этом треугольнике, получаем:

\[OV^2 = VT^2 + OT^2\]

Подставив значения для VO, VT и OT:

\[v^2 = (R - l)^2 + l^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[v^2 = R^2 - 2Rl + l^2 + l^2\]
\[v^2 = R^2 - 2Rl + 2l^2\]

Теперь выразим R:

\[R^2 - 2Rl + 2l^2 - v^2 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения применим формулу дискриминанта D:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a = 1, b = -2l, и c = 2l^2 - v^2.

Подставив значения, получаем:

\[D = (-2l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2l^2 - v^2)\]
\[D = 4l^2 - 8l^2 + 4v^2\]
\[D = 4v^2 - 4l^2\]

Так как у нас сфера, D должно быть равно нулю, чтобы уравнение имело решение. Поэтому:

\[D = 4v^2 - 4l^2 = 0\]

Решим это уравнение относительно v:

\[4v^2 = 4l^2\]
\[v^2 = l^2\]

Из этого уравнения можно выразить v:

\[v = l\]

Теперь, используя это значение, можно найти R:

\[R = \frac{{vl}}{{v-l}}+\frac{{pl}}{{2(v-l)}}\]

Эта формула позволяет найти радиус сферы в терминах p, v и l.

Отправляю файл с рисунком и записью формулы. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!