Не сказано напрямую, что диагональ делит трапецию на два подобных треугольника. Только если меньшее основание

Чтобы доказать, что если диагональ делит трапецию на два подобных треугольника, то меньшее основание, диагональ и большее основание относятся как 1:2:3, рассмотрим трапецию "MNPQ" и обозначим ее основания как \(MN\) и \(PQ\) соответственно, а диагональ как \(MP\).

Пусть у нас есть треугольник \(MNP\) и треугольник \(NPQ\), образованные диагональю \(MP\). Мы хотим показать, что их стороны относятся как 1:2:3.

Вспомним, что для двух треугольников, чтобы они были подобными, необходимо и достаточно, чтобы их углы были равными и отношения длин соответственных сторон были одинаковыми.

Так как треугольник \(MNP\) подобен треугольнику \(NPQ\) (по условию), их углы равны. Поэтому нам нужно установить отношения длин сторон.

Обозначим длины сторон треугольника \(MNP\) как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) - длина стороны \(MN\), \(b\) - длина стороны \(NP\) и \(c\) - длина стороны \(MP\). Аналогично, обозначим длины сторон треугольника \(NPQ\) как \(x\), \(y\) и \(z\), где \(x\) - длина стороны \(NP\), \(y\) - длина стороны \(PQ\) и \(z\) - длина стороны \(MP\).

Мы знаем, что \(b = 2x\) и \(c = 3x\) (согласно условию). Также \(a = c - b\) (так как \(MN = MP - NP\)).

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:
\[a = 3x - 2x = x\]
\[b = 2x\]
\[c = 3x\]

Теперь рассмотрим треугольник \(NPQ\). Нам нужно выразить длину его сторон \(y\) и \(z\) через \(x\) (который является общей стороной треугольников \(MNP\) и \(NPQ\)).

Согласно условию, диагональ \(MP\) делит трапецию на два подобных треугольника. Значит, \(PQ\) должно быть параллельно и равнобедренно с \(MN\) (поскольку треугольники \(MNP\) и \(NPQ\) подобны).

Из равнобедренности треугольника \(NPQ\) следует, что \(y = x\) (так как \(NP = PQ\) и \(x\) является основанием равнобедренного треугольника \(NPQ\)), а также \(z = c\) (так как \(MP = MQ\)).

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:
\[y = x\]
\[z = 3x\]

Итак, мы вывели формулы для длин сторон треугольников \(MNP\) и \(NPQ\):
\[\text{для } MNP: a = x, b = 2x, c = 3x\]
\[\text{для } NPQ: y = x, z = 3x\]

Мы видим, что отношения длин соответственных сторон треугольников \(MNP\) и \(NPQ\) действительно равны 1:2:3. Таким образом, мы доказали, что если диагональ делит трапецию на два подобных треугольника, то меньшее основание, диагональ и большее основание относятся как 1:2:3.