Докажите соотношение между углами треугольника abc: косинус квадрат а + косинус

Question

Геометрия: Докажите соотношение между углами треугольника abc: косинус квадрат а + косинус квадрат b - косинус квадрат c = 1 - 2 синуса а синуса b косинуса

Лесной_Дух_9604 · Accepted Answer

Для доказательства данного соотношения, мы воспользуемся тригонометрической формулой для косинуса суммы двух углов:

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

Давайте применим эту формулу для каждого из углов треугольника.

Для начала, рассмотрим угол

A

. Обозначим остальные два угла как

B

и

C

.

Мы можем переписать данное соотношение в виде:

\cos^{2} (A) + \cos^{2} (B) - \cos^{2} (C) = 1 - 2 \sin (A) \sin (B) \cos (C)

Теперь применим формулу для каждого угла.

Для угла

A

:

\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) - \sin (A) \sin (B)

Вспомним, что

A + B + C = 180^{\circ}

, поэтому

C = 180^{\circ} - (A + B)

.

Поэтому, подставим

C

в формулу:

\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) - \sin (A) \sin (B) \cos (180^{\circ} - (A + B))

По свойству косинуса суммы углов:

\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B) \cos (A + B)

Теперь выразим

\cos (A + B)

:

\cos (A + B) - \sin (A) \sin (B) \cos (A + B) = \cos (A) \cos (B)

Раскроем скобки:

\cos (A + B) (1 - \sin (A) \sin (B)) = \cos (A) \cos (B)

Теперь мы можем записать это в виде:

\cos^{2} (A) + \cos^{2} (B) - \cos^{2} (A + B) = 1 - 2 \sin (A) \sin (B) \cos (A + B)

Таким образом, мы получаем соотношение между углами треугольника:

\cos^{2} (A) + \cos^{2} (B) - \cos^{2} (C) = 1 - 2 \sin (A) \sin (B) \cos (C)

Таким образом, соотношение между углами треугольника

A B C

доказано.

Докажите соотношение между углами треугольника abc: косинус квадрат а + косинус квадрат b - косинус квадрат c = 1

Лесной_Дух_9604

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!