Назвайте висоту конуса, якщо проведена хорда довжиною 12 см стягує дугу з градусною мірою 120 градусів, а

Для решения этой задачи рассмотрим треугольник, образованный хордой, радиусом основания конуса и отрезком, соединяющим середину хорды с вершиной конуса. Обозначим высоту конуса как \(h\), радиус основания как \(r\) и отрезок, соединяющий середину хорды с вершиной конуса, как \(s\).

По условию, дуга между хордой равна 120 градусам, а угол между твёрдой конуса и плоскостью основания равен 60 градусам. Таким образом, у нас есть следующий треугольник:

\[
\begin{array}{c}
\\
A \\
| \ \
| r \ \
| \ \
| \ \
| a \ \
\ \ \
\ \ \
C \ \
| s \ \
| \ \
| \ | \
B \\
\\
\end{array}
\]

Треугольник ABC имеет стороны равные \(r\), \(r\) и \(s\). Угол \(ACB\) равен 120 градусам, а угол \(BAC\) равен 60 градусам.

Для решения задачи мы можем воспользоваться законом синусов. В данном случае, мы можем записать следующее разложение:

\[
\frac{{s}}{{\sin(120^\circ)}} = \frac{{r}}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{r}}{{\sin(180^\circ - 120^\circ - 60^\circ)}}
\]

Сокращая и по упрощая получаем следующее:

\[
s = \frac{{r \cdot \sin(120^\circ)}}{{\sin(60^\circ)}}
\]

Аналогично, мы можем записать:

\[
h = \frac{{r \cdot \cos(60^\circ)}}{{\sin(60^\circ)}}
\]

Теперь, воспользуемся формулой синуса треугольника ABC для нахождения длины стороны \(r\):

\[
r = \frac{{s \cdot \sin(60^\circ)}}{{\sin(120^\circ)}}
\]

Заменив значение \(r\) в формуле для \(h\), получаем:

\[
h = \frac{{s \cdot \sin(60^\circ) \cdot \cos(60^\circ)}}{{\sin(120^\circ)}}
\]

Вычислим значение этого выражения:

\[
h = \frac{{12 \cdot \sin(60^\circ) \cdot \cos(60^\circ)}}{{\sin(120^\circ)}}
\]

\[
h \approx 6.928 см
\]

Таким образом, высота конуса составляет примерно 6.928 см.