Find the expected value of the number of times n dice are thrown, where in each throw exactly m sixes appear, given

Как описано в задаче, нам нужно найти математическое ожидание числа бросков \( E \), при которых для \( n \) кубиков выпадет ровно \( m \) шестерок. Для решения этой задачи мы воспользуемся методом индукции.

Давайте разберемся с базой индукции, где \( n = 1 \). Если у нас есть только один кубик, то вероятность выпадения ровно одной шестерки равна \( \frac{1}{6} \), так как на каждом броске мы имеем 6 равно вероятных исходов, из которых только один является шестеркой. Тогда математическое ожидание для этого случая будет равно:

\[ E = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} \]

Теперь допустим, что формула верна для \( n-1 \) кубика, и рассмотрим случай с \( n \) кубиками. Мы можем представить эту задачу как последовательность \( n \) шагов, где на каждом шаге мы бросаем один кубик. Обозначим через \( E_n \) математическое ожидание числа бросков до тех пор, пока не будет выпадено ровно \( m \) шестерок.

На первом шаге мы бросаем первый кубик, и с вероятностью \( \frac{1}{6} \) выпадает шестерка, после чего нам остается найти математическое ожидание для \( n-1 \) оставшихся кубиков. Таким образом, математическое ожидание для данного случая составляет:

\[ E_n = \frac{1}{6} \cdot (1 + E_{n-1}) \]

На каждом следующем шаге мы снова имеем вероятность \( \frac{1}{6} \) выпадения шестерки и остается \( n-1 \) кубиков. По индукционному предположению, математическое ожидание для \( n-1 \) кубиков равно \( E_{n-1} \).

Продолжая эту рекурсивную формулу, мы можем найти математическое ожидание для любого значения \( n \). Теперь мы можем записать общую формулу для математического ожидания \( E \):

\[ E = \frac{1}{6} \cdot (1 + E_{n-1}) \]

Применяя эту формулу, мы можем последовательно вычислить математическое ожидание для каждого \( n \), начиная с базового случая \( n = 1 \).

Например, если у нас есть 3 кубика (\( n = 3 \)) и мы хотим узнать математическое ожидание, при условии, что выпадет ровно 2 шестерки (\( m = 2 \)), мы можем использовать формулу:

\[ E = \frac{1}{6} \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot E_{1} \right) \right) \]

где \( E_{1} \) равно \( \frac{1}{6} \), так как у нас только один кубик.

Мы можем продолжать применять эту формулу, чтобы получить численное значение математического ожидания.

Обратите внимание, что эта формула основана на предположении, что каждый бросок независимый. Если в задаче есть какие-либо дополнительные ограничения или условия, не учтенные в данной формуле, они также могут повлиять на результат.