Найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами a(-1; -2; 4), b(-4; -2; 0

Чтобы найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) и C (2; 1; -2), мы можем воспользоваться формулами для нахождения расстояний между точками и для нахождения меры углов в треугольнике.

1. Найдем длины сторон треугольника AB, BC и CA, используя формулу расстояния между точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

\[AB = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - 1)^2 + (0 - (-2))^2}\]
\[CA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2}\]

Вычислим значения:

\[AB = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
\[BC = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7\]
\[CA = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

Таким образом, длина стороны AB равна 5, BC равна 7 и CA равна \(3\sqrt{6}\).

2. Теперь найдем меру углов треугольника ABC, используя формулу косинуса:

\[\cos \angle ABC = \frac{{AB^2 + BC^2 - CA^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}\]
\[\cos \angle BCA = \frac{{BC^2 + CA^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot CA}}\]
\[\cos \angle CAB = \frac{{CA^2 + AB^2 - BC^2}}{{2 \cdot CA \cdot AB}}\]

Вычислим значения:

\[\cos \angle ABC = \frac{{5^2 + 7^2 - (3\sqrt{6})^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 7}} = \frac{{25 + 49 - 54}}{{70}} = \frac{{20}}{{70}} = \frac{{2}}{{7}}\]
\[\cos \angle BCA = \frac{{7^2 + (3\sqrt{6})^2 - 5^2}}{{2 \cdot 7 \cdot (3\sqrt{6})}} = \frac{{49 + 54 - 25}}{{14 \cdot 3\sqrt{6}}} = \frac{{78}}{{42\sqrt{6}}} = \frac{{13}}{{7\sqrt{6}}}\]
\[\cos \angle CAB = \frac{{(3\sqrt{6})^2 + 5^2 - 7^2}}{{2 \cdot (3\sqrt{6}) \cdot 5}} = \frac{{54 + 25 - 49}}{{30\sqrt{6}}} = \frac{{30}}{{30\sqrt{6}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{6}}}\]

Теперь, чтобы найти меру углов, найдем обратные косинусы от полученных значений:

\[\angle ABC = \arccos \left( \frac{{2}}{{7}} \right)\]
\[\angle BCA = \arccos \left( \frac{{13}}{{7\sqrt{6}}} \right)\]
\[\angle CAB = \arccos \left( \frac{{1}}{{\sqrt{6}}} \right)\]

Значения углов будут выражены в радианах. Чтобы найти значения в градусах, умножим их на \(\frac{{180}}{{\pi}}\).

\[\angle ABC \approx 66.42^\circ\]
\[\angle BCA \approx 47.65^\circ\]
\[\angle CAB \approx 66.93^\circ\]

Таким образом, меры углов треугольника ABC примерно равны 66.42°, 47.65° и 66.93° соответственно.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.