Найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами a(-1; -2; 4), b(-4; -2; 0

Дек 14, 2023

Найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами a(-1; -2; 4), b(-4; -2; 0) и c(3.

Морозный_Король

Чтобы найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) и C (2; 1; -2), мы можем воспользоваться формулами для нахождения расстояний между точками и для нахождения меры углов в треугольнике.

1. Найдем длины сторон треугольника AB, BC и CA, используя формулу расстояния между точками:

d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

A B = \sqrt{(- 1 - (- 4))^{2} + (- 2 - (- 2))^{2} + (4 - 0)^{2}}

B C = \sqrt{(- 4 - 2)^{2} + (- 2 - 1)^{2} + (0 - (- 2))^{2}}

C A = \sqrt{(2 - (- 1))^{2} + (1 - (- 2))^{2} + (- 2 - 4)^{2}}

Вычислим значения:

A B = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

B C = \sqrt{(- 6)^{2} + (- 3)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7

C A = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + (- 6)^{2}} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}

Таким образом, длина стороны AB равна 5, BC равна 7 и CA равна

3 \sqrt{6}

.

2. Теперь найдем меру углов треугольника ABC, используя формулу косинуса:

\cos ∠ A B C = \frac{A B^{2} + B C^{2} - C A^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C}

\cos ∠ B C A = \frac{B C^{2} + C A^{2} - A B^{2}}{2 \cdot B C \cdot C A}

\cos ∠ C A B = \frac{C A^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2 \cdot C A \cdot A B}

Вычислим значения:

\cos ∠ A B C = \frac{5^{2} + 7^{2} - (3 \sqrt{6})^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 54}{70} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}

\cos ∠ B C A = \frac{7^{2} + (3 \sqrt{6})^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 7 \cdot (3 \sqrt{6})} = \frac{49 + 54 - 25}{14 \cdot 3 \sqrt{6}} = \frac{78}{42 \sqrt{6}} = \frac{13}{7 \sqrt{6}}

\cos ∠ C A B = \frac{(3 \sqrt{6})^{2} + 5^{2} - 7^{2}}{2 \cdot (3 \sqrt{6}) \cdot 5} = \frac{54 + 25 - 49}{30 \sqrt{6}} = \frac{30}{30 \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}

Теперь, чтобы найти меру углов, найдем обратные косинусы от полученных значений:

∠ A B C = \arccos (\frac{2}{7})

∠ B C A = \arccos (\frac{13}{7 \sqrt{6}})

∠ C A B = \arccos (\frac{1}{\sqrt{6}})

Значения углов будут выражены в радианах. Чтобы найти значения в градусах, умножим их на

\frac{180}{π}

∠ A B C \approx {66.42}^{\circ}

∠ B C A \approx {47.65}^{\circ}

∠ C A B \approx {66.93}^{\circ}

Таким образом, меры углов треугольника ABC примерно равны 66.42°, 47.65° и 66.93° соответственно.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.

Знаешь ответ?

Геометрия

Спросить о площади треугольника s(abc) и площади параллелограмма s(abcd): а) Параллелограмм АВСD...

Авг 29, 2024

Геометрия

Какова высота прямого параллелепипеда с основаниями равными 7 и 18 см, при условии, что угол между...

Июн 26, 2024

Найти значения длин сторон и меры углов треугольника, образованного вершинами a(-1; -2; 4), b(-4; -2; 0

Морозный_Король

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!