Найти значения числовых параметров для дискретной случайной величины, связанной с числом сорняков в отобранных наугад

Для решения данной задачи, мы должны определить вероятностное распределение случайной дискретной величины \(x\) и затем найти её математическое ожидание \(m(x)\) и дисперсию.

Дано, что в четырех случайно отобранных зернах нужно найти количество сорняков. Предположим, что это число сорняков является случайной величиной \(x\).

Так как каждое зерно может содержать сорняки или быть чистым, мы можем рассмотреть каждый из этих случаев и найти их вероятности.

Пусть:
- Событие A - "зерно содержит сорняк"
- Событие B - "зерно не содержит сорняка"

По условию, 100% зерен содержат сорняки, следовательно, вероятность события A равна 1, а вероятность события B равна 0.

Теперь мы можем определить вероятностное распределение случайной величины \(x\) в зависимости от числа сорняков в отобранных зернах:

\[
\begin{align*}
P(x=0) &= P(B \cap B \cap B \cap B) = P(B)^4 = 0^4 = 0 \\
P(x=1) &= P(A \cap B \cap B \cap B) + P(B \cap A \cap B \cap B) + P(B \cap B \cap A \cap B) + P(B \cap B \cap B \cap A) \\
&= P(A) \cdot P(B)^3 + P(B) \cdot P(A) \cdot P(B)^2 + P(B)^2 \cdot P(A) \cdot P(B) + P(B)^3 \cdot P(A) \\
&= 1 \cdot 0^3 + 0 \cdot 1 \cdot 0^2 + 0^2 \cdot 1 \cdot 0 + 0^3 \cdot 1 = 0 \\
P(x=2) &= P(A \cap A \cap B \cap B) + P(A \cap B \cap A \cap B) + P(B \cap A \cap A \cap B) + P(B \cap B \cap A \cap A) \\
&= P(A)^2 \cdot P(B)^2 + P(A) \cdot P(B) \cdot P(A) \cdot P(B) + P(B) \cdot P(A)^2 \cdot P(B) + P(B)^2 \cdot P(A)^2 \\
&= 1^2 \cdot 0^2 + 1 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1^2 \cdot 0 + 0^2 \cdot 1^2 = 0 \\
P(x=3) &= P(A \cap A \cap A \cap B) + P(A \cap A \cap B \cap A) + P(A \cap B \cap A \cap A) + P(B \cap A \cap A \cap A) \\
&= P(A)^3 \cdot P(B) + P(A)^2 \cdot P(B) \cdot P(A) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(A)^2 + P(B) \cdot P(A) \cdot P(A)^2 \\
&= 1^3 \cdot 0 + 1^2 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 1^2 + 0 \cdot 1 \cdot 1^2 = 0 \\
P(x=4) &= P(A \cap A \cap A \cap A) = P(A)^4 = 1^4 = 1 \\
\end{align*}
\]

Исходя из этих вычислений, получаем вероятностное распределение случайной дискретной величины \(x\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & P(x) \\
\hline
0 & 0 \\
1 & 0 \\
2 & 0 \\
3 & 0 \\
4 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Далее, для нахождения математического ожидания \(m(x)\) воспользуемся формулой:

\[
m(x) = \sum_{i=0}^{4} x_i \cdot P(x_i)
\]

В нашем случае:

\[
m(x) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4
\]

Таким образом, математическое ожидание \(m(x)\) равно 4.

Следующим шагом является нахождение дисперсии. Дисперсия определяется формулой:

\[
Var(x) = \sum_{i=0}^{4} (x_i - m(x))^2 \cdot P(x_i)
\]

\[
\begin{align*}
Var(x) &= (0 - 4)^2 \cdot 0 + (1 - 4)^2 \cdot 0 + (2 - 4)^2 \cdot 0 + (3 - 4)^2 \cdot 0 + (4 - 4)^2 \cdot 1 \\
&= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 \\
&= 0 \\
\end{align*}
\]

Получаем, что дисперсия \(Var(x)\) равна 0.

Итак, мы определили вероятностное распределение случайной дискретной величины \(x\), а также найдены её математическое ожидание \(m(x)\) и дисперсию \(Var(x)\). В данном случае, распределение является вырожденным, так как с вероятностью 1 величина \(x\) равна 4, а для остальных значений вероятности равны нулю.