Найти значение угла в треугольнике ABC, используя теорему косинусов

Для решения этой задачи посмотрим на теорему косинусов. Она гласит, что в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\alpha\) против стороны \(a\) выполняется следующее равенство:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)\]

Для нашей задачи пусть треугольник ABC имеет стороны \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно и угол между сторонами \(AB\) и \(AC\) обозначим как \(\angle BAC\).

Используем теорему косинусов для нахождения значения угла \(\angle BAC\).

Из теоремы косинусов у нас есть следующее уравнение:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Мы знаем значения сторон треугольника: \(AB = 5\) и \(BC = 7\). Давайте обозначим сторону \(AC\) как \(x\) и вставим известные значения в уравнение:
\[x^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(\angle BAC)\]

Теперь давайте разрешим это уравнение относительно угла \(\angle BAC\).

\[x^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \cos(\angle BAC)\]
\[x^2 = 74 - 70 \cdot \cos(\angle BAC)\]

Теперь нам нужно найти значение \(\cos(\angle BAC)\).

Мы знаем, что \(\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\)

Подставим значения сторон в эту формулу:
\[\cos(\angle BAC) = \frac{5^2 + x^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot x}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{25 + x^2 - 49}{10x}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{x^2 - 24}{10x}\]

Теперь мы можем вернуться к уравнению для \(x\) и подставить эту формулу для \(\cos(\angle BAC)\):
\[x^2 = 74 - 70 \cdot \frac{x^2 - 24}{10x}\]
\[x^2 = 74 - 7(x^2 - 24)\]
\[x^2 = 74 - 7x^2 + 168\]
\[8x^2 = 242\]
\[x^2 = \frac{242}{8}\]
\[x^2 = 30.25\]
\[x = \sqrt{30.25}\]
\[x \approx 5.5\]

Таким образом, значение стороны \(AC\) приближенно равно 5.5. Используя эту информацию, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти значение угла \(\angle BAC\):

\[\cos(\angle BAC) = \frac{5^2 + 5.5^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 5.5}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{25 + 30.25 - 49}{55}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{6.25}{55}\]
\[\cos(\angle BAC) \approx 0.1136\]

Теперь, используя тригонометрическую функцию арккосинус, мы можем найти значение угла \(\angle BAC\):

\[\angle BAC = \cos^{-1}(0.1136)\]
\[\angle BAC \approx 83.87^\circ\]

Таким образом, значение угла \(\angle BAC\) приближенно равно \(83.87^\circ\).