Найти значение третьего элемента прогрессии, если пятый элемент равен 3, а девятый элемент равен

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Формула для вычисления любого члена арифметической прогрессии имеет следующий вид:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_n\) - значение n-го элемента прогрессии, \(a_1\) - значение первого элемента прогрессии, \(n\) - порядковый номер искомого элемента, \(d\) - разность прогрессии.

У нас есть пятый и девятый элементы прогрессии. Пусть \(a_5 = 3\) и \(a_9 = x\) (искомый элемент). Мы можем использовать данные значения, чтобы выразить \(a_1\) и \(d\) и подставить их в формулу для нахождения третьего элемента.

1. Выразим \(a_1\) через \(a_5\) и \(d\):

\[a_5 = a_1 + (5-1) \cdot d\]
\[3 = a_1 + 4 \cdot d\]

2. Выразим \(d\) через \(a_5\) и \(a_9\):

\[a_9 = a_1 + (9-1) \cdot d\]
\[x = a_1 + 8 \cdot d\]

3. Решим полученную систему двух уравнений относительно \(a_1\) и \(d\). Для этого вычтем уравнения друг из друга:

\[(a_1 + 8 \cdot d) - (a_1 + 4 \cdot d) = x - 3\]
\[4 \cdot d = x - 3\]
\[d = \frac{{x - 3}}{{4}}\]

4. Подставим найденное значение \(d\) в первое уравнение:

\[3 = a_1 + 4 \cdot \left(\frac{{x - 3}}{{4}}\right)\]
\[3 = a_1 + x - 3\]
\[6 = a_1 + x\]

5. Теперь мы имеем систему двух уравнений:

\[\begin{cases} 4 \cdot d = x - 3 \\ 6 = a_1 + x \end{cases}\]

6. Решим эту систему уравнений. Преобразуем первое уравнение:

\[4 \cdot d = x - 3\]
\[4 \cdot \left(\frac{{x - 3}}{{4}}\right) = x - 3\]
\[x - 3 = x - 3\]
\[0 = 0\]

Мы получили тривиальное уравнение, которое выполняется для любых значений \(x\) и \(d\).

7. Получается, что система имеет бесконечно много решений, и значение третьего элемента прогрессии может быть любым.