Найти значение EF (средняя линия) при известных данных: AB=8, CB=10, DA=10, угол A=60 градусов

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\), \(a\) и \(b\) - длины других двух сторон, \(C\) - величина угла между сторонами \(a\) и \(b\).

Применим теорему косинусов для треугольника ABC, чтобы найти длину AC:

\[AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(\angle B)\]

Зная значения AB и CB, мы можем подставить их в формулу:

\[AC^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)\]

Для нахождения значения EF (средней линии), мы должны найти значение AC. Используем теорему косинусов для треугольника ACD:

\[AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)\]

Зная значения AD и CD, мы можем подставить их в формулу и решить уравнение относительно AC:

\[10^2 = AC^2 + EF^2 - 2 \cdot AC \cdot EF \cdot \cos(60^\circ)\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые можно решить одновременно, чтобы найти значения AC и EF.

Решим первое уравнение для AC:

\[AC^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[AC^2 = 64 + 100 - 160 \cdot 0.5\]

\[AC^2 = 164 - 80\]

\[AC^2 = 84\]

\[AC = \sqrt{84}\]

Теперь решим второе уравнение для EF, подставив известные значения:

\[10^2 = (\sqrt{84})^2 + EF^2 - 2 \cdot \sqrt{84} \cdot EF \cdot \cos(60^\circ)\]

\[100 = 84 + EF^2 - 2 \cdot \sqrt{84} \cdot EF \cdot 0.5\]

\[100 = 84 + EF^2 - \sqrt{84} \cdot EF\]

\[EF^2 - \sqrt{84} \cdot EF + 16 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[EF = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[EF = \frac{\sqrt{84} \pm \sqrt{(\sqrt{84})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}\]

\[EF = \frac{\sqrt{84} \pm \sqrt{84 - 64}}{2}\]

\[EF = \frac{\sqrt{84} \pm \sqrt{20}}{2}\]

\[EF = \frac{\sqrt{84} \pm 2\sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, значение EF (средней линии) равно \(\frac{\sqrt{84} + 2\sqrt{5}}{2}\) или \(\frac{\sqrt{84} - 2\sqrt{5}}{2}\).