Найти высоту цилиндра, у которого высота вдвое превышает диаметр основания, если его объем равен 1м^3. Выведите формулу

Хорошо! Для решения этой задачи, давайте начнем с формулы для объема цилиндра. Объем цилиндра определяется умножением площади основания на высоту.
Формула для объема цилиндра:
\[ V = \pi r^{2} h \]
где \( V \) - объем, \( \pi \) - число Пи (приблизительно равно 3.14), \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота цилиндра.

В данной задаче мы знаем, что объем цилиндра равен 1 м^3. Поэтому мы можем записать уравнение:
\[ 1 = \pi r^{2} h \]

Также из условия задачи нам дано, что высота цилиндра вдвое превышает диаметр его основания. Диаметр (d) равен удвоенному радиусу (r), поэтому высота (h) будет равна 2d.

Теперь, используя это дополнительное условие, мы можем выразить радиус и высоту через диаметр:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ h = 2d \]

Теперь мы можем подставить эти выражения для радиуса и высоты в уравнение объема цилиндра:
\[ 1 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} (2d) \]

Теперь, давайте решим эту квадратную уравнение и найдем значение d, а затем найдем значение h.

\[ 1 = \pi \cdot \frac{d^{2}}{4} \cdot (2d) \]
\[ 1 = \frac{\pi d^{3}}{2} \]
\[ 2 = \pi d^{3} \]
\[ d^{3} = \frac{2}{\pi} \]
\[ d = \sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} \]

Дальше, чтобы найти высоту цилиндра (h), мы можем подставить найденное значение d в уравнение для h:
\[ h = 2d = 2\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} \]

Теперь давайте вычислим значение высоты в заданных единицах измерения.

а) В сантиметрах:
\[ h = 2\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} \cdot 100 \]