Найти все значения параметра а, при которых неравенство (x - a/4)/(x - 2a) < 0 выполняется для всех х, таких

Давайте решим данное неравенство пошагово.

Исходное неравенство: \(\frac{{x - \frac{a}{4}}}{{x - 2a}} < 0\)

Перенесем дробь в левую часть неравенства, чтобы получить левую сторону равной нулю:

\(\frac{{x - \frac{a}{4}}}{{x - 2a}} + 0 < 0\)

Упростим:

\(\frac{{x - \frac{a}{4}}}{{x - 2a}} < 0\)

Теперь разберемся с областями, где данное неравенство выполняется.

1. Ноль в знаменателе:
Для получения значения нуля в знаменателе, должно выполняться условие \(x - 2a = 0\).
Отсюда находим, что \(x = 2a\).

2. Когда числитель отрицателен, а знаменатель положителен:
Чтобы неравенство выполнялось, должно выполняться условие \(x - \frac{a}{4} < 0\) и \(x - 2a > 0\).
Решим оба условия:

\(x - \frac{a}{4} < 0\)
\(\frac{4x - a}{4} < 0\)
\(4x - a < 0\)
\(4x < a\)
\(x < \frac{a}{4}\)

\(x - 2a > 0\)
\(x > 2a\)

3. Когда числитель положителен, а знаменатель отрицателен:
Также как и в предыдущем случае, чтобы неравенство выполнялось, должно выполняться условие \(x - \frac{a}{4} > 0\) и \(x - 2a < 0\).
Решим оба условия:

\(x - \frac{a}{4} > 0\)
\(\frac{4x - a}{4} > 0\)
\(4x - a > 0\)
\(4x > a\)
\(x > \frac{a}{4}\)

\(x - 2a < 0\)
\(x < 2a\)

Теперь объединим все области, где неравенство выполняется:

1. \(x < \frac{a}{4}\) и \(x < 2a\) (случай 2)
2. \(x > \frac{a}{4}\) и \(x > 2a\) (случай 3)
3. \(x = 2a\) (случай 1)

Теперь найдем значения параметра \(a\), при которых все эти условия выполняются одновременно.

- В случае 1: \(x < \frac{a}{4}\) и \(x < 2a\)
- Если \(x < \frac{a}{4}\), то \(2a > \frac{a}{4}\) (из условия 2)
- Решим неравенство: \(8a > a\)
- Получаем: \(a > 0\)

- В случае 2: \(x > \frac{a}{4}\) и \(x > 2a\)
- Если \(x > 2a\), то \(2a < \frac{a}{4}\) (из условия 3)
- Решим неравенство: \(8a < a\)
- Получаем: \(a < 0\)

- В случае 3: \(x = 2a\)
- Если \(x = 2a\), то \(2a = \frac{a}{4}\) (из условия 1)
- Решим неравенство: \(8a = a\)
- Получаем: \(a = 0\)

Таким образом, получаем значения параметра \(a\) для которых выполняется исходное неравенство:
\(a > 0\), \(a < 0\) или \(a = 0\).