Найти вероятность того, что случайный участник успешно выполнит больше одного и не больше четырех заданий в хакатоне

Хорошо, чтобы найти вероятность успешного выполнения больше одного и не больше четырех заданий в хакатоне, мы будем использовать биномиальный закон распределения с параметрами \(n = 6\) и \(p = 0.54\).

Вероятность успешно выполнить задание в хакатоне равна \(p = 0.54\).

Теперь посчитаем вероятность, что участник успешно выполнит из 1 до 4 заданий. Для этого нам понадобятся вероятности случайно выполнить 1, 2, 3 и 4 задания, а затем их сумма.

Вероятность успешно выполнить \(k\) заданий из \(n\) заданий при вероятности \(p\) равна формуле биномиального распределения:

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(C(n, k)\) обозначает коэффициент сочетания и вычисляется следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Теперь подставим значения в формулу и вычислим вероятность для каждого значения \(k\).

Для \(k = 1\):
\[P(1) = C(6, 1) \cdot 0.54^1 \cdot (1-0.54)^{6-1}\]
\[P(1) = 6 \cdot 0.54 \cdot 0.46^5\]

Для \(k = 2\):
\[P(2) = C(6, 2) \cdot 0.54^2 \cdot (1-0.54)^{6-2}\]
\[P(2) = 15 \cdot 0.54^2 \cdot 0.46^4\]

Для \(k = 3\):
\[P(3) = C(6, 3) \cdot 0.54^3 \cdot (1-0.54)^{6-3}\]
\[P(3) = 20 \cdot 0.54^3 \cdot 0.46^3\]

Для \(k = 4\):
\[P(4) = C(6, 4) \cdot 0.54^4 \cdot (1-0.54)^{6-4}\]
\[P(4) = 15 \cdot 0.54^4 \cdot 0.46^2\]

Теперь сложим эти вероятности, чтобы получить вероятность того, что участник успешно выполнит от 1 до 4 заданий:

\[P(1 < \xi \leq 4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)\]

Выполним вычисления:

\[P(1 < \xi \leq 4) = (6 \cdot 0.54 \cdot 0.46^5) + (15 \cdot 0.54^2 \cdot 0.46^4) + (20 \cdot 0.54^3 \cdot 0.46^3) + (15 \cdot 0.54^4 \cdot 0.46^2)\]

После вычислений округлим результат до трех знаков после запятой.