Какие точки являются экстремумами функции f(x) = 3x^2 - 2x^3

Чтобы найти экстремумы функции \(f(x) = 3x^2 - 2x^3\), нам необходимо найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю или не существует. Эти значения \(x\) являются потенциальными точками экстремума.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f"(x)\). Для этого применяем правило дифференцирования для каждого слагаемого функции \(f(x)\).

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x^3)\]

Применим правило дифференцирования непрерывного сложения и умножения на константу:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2x^3)\]

\[f"(x) = 6x - 6x^2\]

Шаг 2: Найдем значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[6x - 6x^2 = 0\]

\[6x(1 - x) = 0\]

Таким образом, мы получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\).

Шаг 3: Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, мы должны проанализировать знак производной в окрестности каждой из найденных точек.

Для \(x < 0\), \(f"(x) = 6x - 6x^2\) будет положительной, поскольку \(6x\) будет отрицательным, а \(6x^2\) - положительным при \(x < 0\). Значит, функция возрастает в окрестности точки \(x = 0\).

Для \(0 < x < 1\), \(f"(x) = 6x - 6x^2\) будет отрицательной, поскольку оба слагаемых \(6x\) и \(6x^2\) будут положительными. Значит, функция убывает в окрестности точки \(x = 1\).

Для \(x > 1\), \(f"(x) = 6x - 6x^2\) будет снова положительной, поскольку оба слагаемых \(6x\) и \(6x^2\) будут положительными. Значит, функция возрастает в окрестности точки \(x = 1\).

Шаг 4: Исходя из анализа знаков производной, мы можем сделать следующие выводы:

- В точке \(x = 0\) функция \(f(x) = 3x^2 - 2x^3\) достигает максимального значения (локальный максимум).
- В точке \(x = 1\) функция \(f(x) = 3x^2 - 2x^3\) достигает минимального значения (локальный минимум).

Таким образом, точки \(x = 0\) и \(x = 1\) являются экстремумами функции \(f(x) = 3x^2 - 2x^3\).