Найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии, где второй член вдвое больше первого, а четвертый член равен

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии. Формула записывается следующим образом:

\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

В данной задаче у нас есть информация о втором и четвертом членах прогрессии. По условию, второй член вдвое больше первого, то есть:

\[a_2 = 2a_1\]

Также дано, что четвертый член равен 9, то есть:

\[a_4 = 9\]

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\).

Исходя из того, что \(a_2 = 2a_1\), мы можем заменить \(a_2\) в формуле членом прогрессии:

\[a_2 = a_1 + d\]
\[2a_1 = a_1 + d\]
\[a_1 = d\]

Таким образом, мы узнали, что разность между соседними членами прогрессии \(d\) равна \(a_1\).

Теперь мы можем найти значения \(a_1\) и \(d\) с помощью уравнения \(a_4 = 9\):

\[a_4 = a_1 + 3d\]
\[9 = d + 3d\]
\[9 = 4d\]
\[d = \frac{9}{4} = 2.25\]

Таким образом, мы нашли значение \(d\). Чтобы найти \(a_1\), мы можем использовать \(a_1 = d\):

\[a_1 = 2.25\]

Теперь, когда у нас есть значения \(a_1\) и \(d\), мы можем найти сумму первых семи членов прогрессии, используя формулу:

\[S_7 = \frac{7}{2}\left(2 \cdot 2.25 + (7-1) \cdot 2.25\right)\]

\[S_7 = \frac{7}{2}\left(4.5 + 6 \cdot 2.25\right)\]

\[S_7 = \frac{7}{2}\left(4.5 + 13.5\right)\]

\[S_7 = \frac{7}{2} \cdot 18\]

\[S_7 = 63\]

Таким образом, сумма первых семи членов данной арифметической прогрессии равна 63.