Как изменить дифференциальное уравнение y²-2xy)dx+x²dy=0?

Чтобы изменить дифференциальное уравнение \(y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0\), мы можем использовать метод экзактных дифференциалов. Этот метод позволяет нам привести уравнение к виду, в котором оно станет экзактным и легко решаемым.

Для того чтобы проверить, можно ли применить метод экзактных дифференциалов, нам необходимо убедиться, что выполнено условие \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\), где \(M\) - коэффициент при \(dx\), а \(N\) - коэффициент при \(dy\).

В нашем случае \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 2y\) и \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 2x\), что означает, что условие выполнено.

Теперь перейдем к решению самого уравнения.

1. Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель \(\mu(x, y)\), который определяется условием \(\frac{{d\mu}}{{dx}} = \frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{{N}}\).

В нашем случае \(\frac{{d\mu}}{{dx}} = \frac{{2y - 2x}}{{x^2}}\). Проинтегрируем это выражение:
\[
\int \frac{{d\mu}}{{dx}} = \int \frac{{2y - 2x}}{{x^2}}dx
\]

Раскроем дробь и проинтегрируем оба слагаемых по отдельности:
\[
\mu = \int \frac{{2y}}{{x^2}}dx - \int \frac{{2}}{{x}}dx
\]

Интегрируем:
\[
\mu = 2\int \frac{{y}}{{x^2}}dx - 2\int \frac{{dx}}{{x}}
\]
\[
\mu = 2\left(-\frac{{y}}{{x}}\right) - 2\ln|x| + C
\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.

2. Подставим найденное значение интегрирующего множителя \(\mu\) в исходное уравнение:
\[
2y\left(-\frac{{y}}{{x}}\right) - 2y\ln|x| + Cdx + x^2dy = 0
\]

3. Упростим выражение:
\[
-2y^2 + 2xy\ln|x| + Cdx + x^2dy = 0
\]

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение \(y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0\) можно изменить до уравнения \(-2y^2 + 2xy\ln|x| + Cdx + x^2dy = 0\).

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам лучше понять процесс изменения данного дифференциального уравнения. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!