Найти разложение векторов m и n по векторам а в данном разложении векторов а и б по неколлинеарным векторам m и

Для начала, мы можем заметить, что задача связана с разложением векторов по неколлинеарным векторам. Векторы \(m\) и \(n\) являются неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой. Дано, что вектор \(a\) может быть разложен по векторам \(m\) и \(n\), а вектор \(b\) может быть разложен по вектору \(m\) и \(n\).

Давайте начнем с разложения вектора \(a\) по векторам \(m\) и \(n\). Мы знаем, что \(a = 2m - n\). Чтобы разложить \(a\) по \(m\) и \(n\), нам нужно найти коэффициенты, которые будут умножены на \(m\) и \(n\) соответственно.

Пусть разложение вектора \(a\) по векторам \(m\) и \(n\) имеет вид:

\[a = xm + yn\]

где \(x\) и \(y\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Подставим выражение для \(a\) в разложение:

\[2m - n = xm + yn\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать для нахождения \(x\) и \(y\). По одному из уравнений мы можем сопоставить коэффициенты при \(m\) и \(n\), а по другому уравнению мы можем сопоставить значения коэффициентов без разностей:

\[2 = x\]
\[-1 = y\]

Теперь у нас есть разложение вектора \(a\) по векторам \(m\) и \(n\) в следующем виде:

\[a = 2m - n\]

Теперь перейдем к разложению вектора \(b\) по векторам \(m\) и \(n\). Мы знаем, что \(b = 3m + 4n\). По аналогии со случаем с вектором \(a\), мы можем найти разложение вектора \(b\) по \(m\) и \(n\), найдя коэффициенты \(x\) и \(y\) в уравнении:

\[b = xm + yn\]

Подставим выражение для \(b\) в разложение:

\[3m + 4n = xm + yn\]

Из этого уравнения мы можем сопоставить коэффициенты при \(m\) и \(n\):

\[3 = x\]
\[4 = y\]

Таким образом, разложение вектора \(b\) по векторам \(m\) и \(n\) имеет вид:

\[b = 3m + 4n\]

В итоге, разложение векторов \(m\) и \(n\) по векторам \(a\) и \(b\) соответственно:

\[m = 2\]
\[n = -1\]
\[a = 2m - n = 2(2) - (-1) = 5\]
\[b = 3m + 4n = 3(2) + 4(-1) = 2\]

Это и есть ответ на задачу о разложении векторов \(m\) и \(n\) по векторам \(a\) и \(b\).