Найти разложение векторов m и n по векторам а в данном разложении векторов а и б по неколлинеарным векторам m и

Для начала, мы можем заметить, что задача связана с разложением векторов по неколлинеарным векторам. Векторы $m$ и $n$ являются неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой. Дано, что вектор $a$ может быть разложен по векторам $m$ и $n$, а вектор $b$ может быть разложен по вектору $m$ и $n$.

Давайте начнем с разложения вектора $a$ по векторам $m$ и $n$. Мы знаем, что $a=2m-n$. Чтобы разложить $a$ по $m$ и $n$, нам нужно найти коэффициенты, которые будут умножены на $m$ и $n$ соответственно.

Пусть разложение вектора $a$ по векторам $m$ и $n$ имеет вид:

$$a=xm+yn$$

где $x$ и $y$ - коэффициенты, которые мы должны найти.

Подставим выражение для $a$ в разложение:

$$2m-n=xm+yn$$

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать для нахождения $x$ и $y$. По одному из уравнений мы можем сопоставить коэффициенты при $m$ и $n$, а по другому уравнению мы можем сопоставить значения коэффициентов без разностей:

$$2=x$$
$$-1=y$$

Теперь у нас есть разложение вектора $a$ по векторам $m$ и $n$ в следующем виде:

$$a=2m-n$$

Теперь перейдем к разложению вектора $b$ по векторам $m$ и $n$. Мы знаем, что $b=3m+4n$. По аналогии со случаем с вектором $a$, мы можем найти разложение вектора $b$ по $m$ и $n$, найдя коэффициенты $x$ и $y$ в уравнении:

$$b=xm+yn$$

Подставим выражение для $b$ в разложение:

$$3m+4n=xm+yn$$

Из этого уравнения мы можем сопоставить коэффициенты при $m$ и $n$:

$$3=x$$
$$4=y$$

Таким образом, разложение вектора $b$ по векторам $m$ и $n$ имеет вид:

$$b=3m+4n$$

В итоге, разложение векторов $m$ и $n$ по векторам $a$ и $b$ соответственно:

$$m=2$$
$$n=-1$$
$$a=2m-n=2(2)-(-1)=5$$
$$b=3m+4n=3(2)+4(-1)=2$$

Это и есть ответ на задачу о разложении векторов $m$ и $n$ по векторам $a$ и $b$.