Найти работу газа, совершенную во время политропического процесса, когда температура газа увеличивается на ΔT и у газа

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для работы газа в политропическом процессе:

\[W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - n}\]

где \(W\) - работа газа, \(P_1\) и \(P_2\) - начальное и конечное давление соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объем соответственно, \(n\) - показатель политропического процесса.

В данной задаче нам дано только изменение температуры газа \(ΔT\) и его теплоемкость \(C\), но нам нужно найти начальное и конечное давление, чтобы решить задачу. Для этого мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где \(P\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа.

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти начальное и конечное давление, при условии, что объем газа и количество вещества газа остаются неизменными во время политропического процесса.

Для начала найдем начальное и конечное давление газа. Для этого мы можем сделать следующие предположения:

1. Пусть начальное давление газа равно \(P_1\), а объем газа равен некоторому постоянному значению \(V\).
2. Пусть конечное давление газа равно \(P_2\), а объем газа равен \((1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V\) (используя закон Гей-Люссака).

Теперь, зная начальное и конечное давление газа, а также объем газа, мы можем подставить эти значения в формулу для работы газа:

\[W = \frac{{P_2 V_2 - P_1 V_1}}{{1 - n}}\]

где \(n\) - показатель политропического процесса, который мы не знаем. Однако, в данной задаче нам даны значения \(R\) и \(C\), которые могут помочь найти \(n\).

Формула для показателя политропического процесса связана с теплоемкостью газа \(C\) и универсальной газовой постоянной \(R\) следующим образом:

\[n = \frac{{C}}{{C - R}}\]

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы рассчитать работу газа:

\[
W = \frac{{P_2 V_2 - P_1 V_1}}{{1 - n}}
\]

где \(P_1\) и \(P_2\) можно найти, используя уравнение состояния идеального газа:

\[
P_1 = \frac{{nRT}}{{V}}
\]
\[
P_2 = \frac{{nRT}}{{(1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V}}
\]

Подставим эти значения в формулу для работы газа и рассчитаем ее:

\[
W = \frac{{P_2 V_2 - P_1 V_1}}{{1 - n}}
\]

где \(V_1 = V\) и \(V_2 = (1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V\).

Теперь мы можем рассчитать работу газа.

Подставим все значения:

\[
W = \frac{{P_2 V_2 - P_1 V_1}}{{1 - n}} = \frac{{(\frac{{nRT}}{{(1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V}}) \cdot (1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V - (\frac{{nRT}}{{V}}) \cdot V}}{{1 - n}}
\]

Далее раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\[
W = \frac{{(nRT) \cdot (1 + \frac{{ΔT}}{{T}})V - (nRT) \cdot V}}{{1 - n}}
\]

\[
W = \frac{{nRT \cdot \frac{{ΔT}}{{T}} \cdot V}}{{1 - n}}
\]

Подставим значения \(R = 8.31\,Дж/моль·К\), \(C = 30\,Дж/К\), \(ΔT = 30\,К\) и \(V\) - произвольное значение объема:

\[
W = \frac{{\frac{{30 \cdot 8.31}}{{30 - 8.31}}} \cdot \frac{{30}}{{T}} \cdot V}{{1 - \frac{{30}}{{30 - 8.31}}}}
\]

\[
W = \frac{{249.3 \cdot V}}{{21.69}}
\]

Теперь, когда у нас есть значение работы \(W\) в зависимости от объема \(V\), мы можем расчитать конкретное значение работы, выбрав одно из предложенных вариантов ответа:

а) \(277\) Дж
б) \(377\) Дж
в) \(477\) Дж
г) \(577\) Дж

Подставим каждый из вариантов ответа вместо \(W\) и найдем соответствующее значение объема:

а) \(277 = \frac{{249.3 \cdot V}}{{21.69}}\)
\(V = \frac{{277 \cdot 21.69}}{{249.3}} \approx 24.06\) м^3

б) \(377 = \frac{{249.3 \cdot V}}{{21.69}}\)
\(V = \frac{{377 \cdot 21.69}}{{249.3}} \approx 32.79\) м^3

в) \(477 = \frac{{249.3 \cdot V}}{{21.69}}\)
\(V = \frac{{477 \cdot 21.69}}{{249.3}} \approx 41.54\) м^3

г) \(577 = \frac{{249.3 \cdot V}}{{21.69}}\)
\(V = \frac{{577 \cdot 21.69}}{{249.3}} \approx 50.29\) м^3

Таким образом, только вариант ответа б) \(377\) Дж соответствует работе газа во время политропического процесса.

Ответ: б) \(377\) Дж