Найти площадь поверхности фигуры, образованной после отделения всех вершин октаэдра таким образом, чтобы получилось

Чтобы найти площадь поверхности фигуры, образованной после отделения всех вершин октаэдра, мы должны рассмотреть каждую из созданных фигур отдельно и затем сложить их площади.

У нас есть 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.

Начнем с квадратов. Поскольку у нас есть шесть квадратов, мы должны вычислить площадь одного квадрата и затем умножить ее на количество квадратов. Площадь квадрата вычисляется как квадрат длины его стороны. Пусть ребро исходного октаэдра равно \(a\). Тогда сторона квадрата будет равна \(a\) и его площадь будет равна \(a^2\). Умножим площадь на количество квадратов:

\[
6 \cdot a^2
\]

Теперь рассмотрим правильные шестиугольники. Помните, что площадь правильного многоугольника можно вычислить, зная его апофему и периметр. Апофема правильного шестиугольника вычисляется по формуле \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Периметр правильного шестиугольника равен \(6a\). Теперь у нас есть апофема и периметр, поэтому мы можем вычислить площадь одного правильного шестиугольника по формуле:

\[
\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a \cdot (6a)
\]

Так как у нас есть восемь шестиугольников, мы должны умножить площадь одного на количество шестиугольников:

\[
8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a \cdot (6a)
\]

Теперь нам нужно сложить площади квадратов и шестиугольников:

\[
6 \cdot a^2 + 8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a \cdot (6a)
\]

Это выражение можно упростить:

\[
6a^2 + 8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a \cdot 6a
\]

Далее упростим еще:

\[
6a^2 + 48 \sqrt{3} \cdot a^2
\]

Теперь объединим подобные члены:

\[
(6 + 48\sqrt{3})a^2
\]

Таким образом, площадь поверхности фигуры будет равна \((6 + 48\sqrt{3})a^2\).