Найти момент инерции системы, складывающейся из двух однородных стержней массами m1 и m2, длиной l1

Чтобы найти момент инерции системы, состоящей из двух однородных стержней, мы можем использовать теорему параллельной оси.

Сначала найдем моменты инерции каждого стержня относительно их центров масс. Момент инерции стержня относительно его центра масс можно найти с помощью следующей формулы:

\[I = \frac{1}{12}mL^2\]

где \(I\) - момент инерции, \(m\) - масса стержня, \(L\) - длина стержня.

Для первого стержня массой \(m_1\) и длиной \(l_1\), момент инерции относительно его центра масс выглядит так:

\[I_1 = \frac{1}{12}m_1l_1^2\]

Аналогично, для второго стержня массой \(m_2\) и длиной \(l_2\), момент инерции его центра масс:

\[I_2 = \frac{1}{12}m_2l_2^2\]

Затем, используя теорему параллельной оси, мы можем найти момент инерции всей системы относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости системы. Формула для этого:

\[I_{\text{системы}} = I_1 + I_2 + md^2\]

где \(d\) - расстояние между осями моментов инерции каждого стержня и оси, проходящей через точку O.

Так как стержни скреплены перпендикулярно друг к другу, расстояние \(d\) равно \(l_1/2 + l_2/2 = (l_1 + l_2)/2\).

Теперь мы можем объединить все вместе и найти момент инерции системы:

\[I_{\text{системы}} = \frac{1}{12}m_1l_1^2 + \frac{1}{12}m_2l_2^2 + m_1d^2 + m_2d^2\]

Подставляя значение \(d = \frac{l_1 + l_2}{2}\), мы можем упростить выражение:

\[I_{\text{системы}} = \frac{1}{12}m_1l_1^2 + \frac{1}{12}m_2l_2^2 + \left( m_1 + m_2 \right) \left( \frac{l_1 + l_2}{2} \right)^2\]

Это и есть искомый момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости системы.