Найти и проанализировать одномерную нелинейную оптимизацию. Определить значения х, при которых функция достигает

Найти и проанализировать одномерную нелинейную оптимизацию. Определить значения х, при которых функция достигает минимума и максимума (70%). Определить минимальное и максимальное значение функции (30%), f(x) - экструм f(x) = -3х^2+3, где х ≤ 13, 2х^2-20х-3, где х > 13, 2 ≤ х ≤ 15.
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Serdce_Okeana

Serdce_Okeana

Для начала, давайте рассмотрим функцию f(x) = -3x^2 + 3, где x ≤ 13. Чтобы определить точки минимума и максимума, нам необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Вычислим производную функции f(x):

f"(x)=ddx(3x2+3)

Используя правило дифференцирования степенной функции ddx(xn)=nxn1, получаем:

f"(x)=6x

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

6x=0

Отсюда получаем, что x = 0.

Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, мы должны проанализировать вторую производную. Вычислим вторую производную:

f""(x)=d2dx2(3x2+3)

Вспоминаем правило дифференцирования степенной функции и получаем:

f""(x)=6

Так как f""(x) является постоянной и отрицательной, это говорит о том, что в точке x = 0 функция f(x) достигает максимума.

Теперь давайте рассмотрим функцию g(x) = 2x^2 - 20x - 3, где x > 13. Также найдем экстремум этой функции.

Вычисляем производную функции g(x):

g"(x)=ddx(2x220x3)

Применяем правило дифференцирования степенной функции и получаем:

g"(x)=4x20

Приравниваем производную к нулю:

4x20=0

Решаем это уравнение и получаем x = 5.

Теперь рассмотрим вторую производную:

g""(x)=d2dx2(2x220x3)

Применяем правило дифференцирования и получаем:

g""(x)=4

Поскольку g""(x) является постоянной и положительной, это говорит о том, что в точке x = 5 функция g(x) достигает минимума.

Таким образом, мы получили, что функция f(x) достигает максимума в точке x = 0, а функция g(x) достигает минимума в точке x = 5.

Теперь нам необходимо определить минимальное и максимальное значение функций f(x) и g(x).

Для функции f(x):

Подставим x = 0 в исходную функцию:

f(0)=3(0)2+3=3

Таким образом, минимальное значение функции f(x) равно 3.

Подставим x = 13 в исходную функцию:

f(13)=3(13)2+3=507

Таким образом, максимальное значение функции f(x) равно -507.

Для функции g(x):

Подставим x = 5 в исходную функцию:

g(5)=2(5)220(5)3=8

Таким образом, минимальное значение функции g(x) равно -8.

Подставим x = 13 в исходную функцию:

g(13)=2(13)220(13)3=169

Таким образом, максимальное значение функции g(x) равно 169.

В итоге, мы определили значения x, при которых функции достигают минимума и максимума, а также минимальное и максимальное значения функций.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello