Найти и проанализировать одномерную нелинейную оптимизацию. Определить значения х, при которых функция достигает

Для начала, давайте рассмотрим функцию f(x) = -3x^2 + 3, где x ≤ 13. Чтобы определить точки минимума и максимума, нам необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Вычислим производную функции f(x):

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 3)\]

Используя правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\), получаем:

\[f"(x) = -6x\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[-6x = 0\]

Отсюда получаем, что x = 0.

Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, мы должны проанализировать вторую производную. Вычислим вторую производную:

\[f""(x) = \frac{d^2}{dx^2}(-3x^2 + 3)\]

Вспоминаем правило дифференцирования степенной функции и получаем:

\[f""(x) = -6\]

Так как f""(x) является постоянной и отрицательной, это говорит о том, что в точке x = 0 функция f(x) достигает максимума.

Теперь давайте рассмотрим функцию g(x) = 2x^2 - 20x - 3, где x > 13. Также найдем экстремум этой функции.

Вычисляем производную функции g(x):

\[g"(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 20x - 3)\]

Применяем правило дифференцирования степенной функции и получаем:

\[g"(x) = 4x - 20\]

Приравниваем производную к нулю:

\[4x - 20 = 0\]

Решаем это уравнение и получаем x = 5.

Теперь рассмотрим вторую производную:

\[g""(x) = \frac{d^2}{dx^2}(2x^2 - 20x - 3)\]

Применяем правило дифференцирования и получаем:

\[g""(x) = 4\]

Поскольку g""(x) является постоянной и положительной, это говорит о том, что в точке x = 5 функция g(x) достигает минимума.

Таким образом, мы получили, что функция f(x) достигает максимума в точке x = 0, а функция g(x) достигает минимума в точке x = 5.

Теперь нам необходимо определить минимальное и максимальное значение функций f(x) и g(x).

Для функции f(x):

Подставим x = 0 в исходную функцию:

\[f(0) = -3(0)^2 + 3 = 3\]

Таким образом, минимальное значение функции f(x) равно 3.

Подставим x = 13 в исходную функцию:

\[f(13) = -3(13)^2 + 3 = -507\]

Таким образом, максимальное значение функции f(x) равно -507.

Для функции g(x):

Подставим x = 5 в исходную функцию:

\[g(5) = 2(5)^2 - 20(5) - 3 = -8\]

Таким образом, минимальное значение функции g(x) равно -8.

Подставим x = 13 в исходную функцию:

\[g(13) = 2(13)^2 - 20(13) - 3 = 169\]

Таким образом, максимальное значение функции g(x) равно 169.

В итоге, мы определили значения x, при которых функции достигают минимума и максимума, а также минимальное и максимальное значения функций.