Найти длину отрезка ОС в треугольнике АОВ в прямоугольной системе координат, где О(0;0;0), А(-3; 4; 6), B(7; 1;-9

Для решения данной задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве.

Дано, что точка O имеет координаты (0, 0, 0), точка А имеет координаты (-3, 4, 6), а точка B имеет координаты (7, 1, -9).

Для начала, найдем координаты точки C, которая лежит на отрезке AB. Для этого воспользуемся параметрическим представлением отрезка AB:

\[C(x, y, z) = A + t(B - A)\]

где t - параметр, определяющий положение точки C на отрезке AB.

Мы знаем, что длина отрезка AC составляет 3. Запишем это условие в виде уравнения:

\[\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2} = 3\]

Раскроем скобки:

\[(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = 9\]

Теперь найдем значение параметра t, подставив координаты точки C в уравнение:

\[(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = t^2((7 - (-3))^2 + (1 - 4)^2 + (-9 - 6)^2)\]

\[(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = 100t^2\]

Подставим это значение параметра t в параметрическое представление отрезка AB:

\[C(x, y, z) = (-3, 4, 6) + \frac{1}{10}(7 - (-3), 1 - 4, -9 - 6)\]

\[C(x, y, z) = (-3, 4, 6) + \frac{1}{10}(10, -3, -15)\]

\[C(x, y, z) = (-3, 4, 6) + (1, -0.3, -1.5)\]

\[C(x, y, z) = (-2, 3.7, 4.5)\]

Таким образом, координаты точки C равны (-2, 3.7, 4.5).

Найдем длину отрезка OC, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[OC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2}\]

\[OC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3.7 - 0)^2 + (4.5 - 0)^2}\]

\[OC = \sqrt{4 + 13.69 + 20.25}\]

\[OC = \sqrt{37.94}\]

\[OC \approx 6.17\]

Таким образом, длина отрезка OC в треугольнике АОВ составляет примерно 6.17.