Найдите значения x, при которых уравнение f(x) = 0, где f(x) = cos2x + sin, имеет корни на интервале

Хорошо! Давайте решим задачу. Для начала, нам нужно найти значения x, при которых уравнение \( f(x) = 0 \). У нас дано уравнение \( f(x) = \cos^2x + \sin x \). Чтобы найти корни этого уравнения, мы должны найти значения x, при которых \( f(x) \) равно нулю.

Давайте начнем с упрощения выражения \( f(x) \). Мы знаем, что \(\cos^2 x\) + \(\sin x\) = \((1 - \sin^2 x)\) + \(\sin x\). Комбинируя это, получаем \(\cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x\).

Теперь, уравнение принимает вид \(1 - \sin^2 x + \sin x = 0\).

Давайте приведем это уравнение к квадратному виду. Мы видим, что это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Поэтому мы можем привести его к виду \(a \sin^2 x + b \sin x + c = 0\), где \(a = -1\), \(b = 1\), и \(c = 1\).

Используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), мы можем найти значения дискриминанта. В нашем случае, это будет \(D = (1)^2 - 4(-1)(1) = 1 + 4 = 5\).

Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни этого уравнения. Если \(D > 0\), то у нас есть два различных корня. Если \(D = 0\), то у нас есть один корень. И если \(D < 0\), то у нас нет действительных корней.

В нашем случае, \(D = 5\), что означает, что у нас есть два различных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), мы можем найти значения \(\sin x\):

\(\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{-2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).

Теперь, чтобы найти значения x, нам необходимо использовать инверсную функцию синуса \(\sin^{-1}\). Поэтому значения x будут следующими:

\(x = \sin^{-1}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) и \(x = \sin^{-1}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)\).

Это значения x, при которых уравнение \(f(x) = 0\) имеет корни на интервале. Надеюсь, это решение понятно для вас. Пожалуйста, дайте знать, если у вас есть еще вопросы.