Найдите значения sin(α – β) и cos(α + β), если sinα = 0,8 и cosβ = -0,6, а α принадлежит интервалу от 0,5π до π

Для решения этой задачи нам понадобятся несколько тригонометрических формул. Давайте начнем с формулы синусов разности:

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\]

А теперь перейдем к формуле косинусов суммы:

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]

Дано, что \(\sin\alpha = 0,8\) и \(\cos\beta = -0,6\), но нам также нужно найти значения \(\cos\alpha\) и \(\sin\beta\) для использования в формулах. Для этого нам понадобится использовать тригонометрическую идентичность \(\cos^2x + \sin^2x = 1\). Начнем с \(\sin\alpha\):

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

\((0,8)^2 + \cos^2\alpha = 1\)

\(0,64 + \cos^2\alpha = 1\)

\(\cos^2\alpha = 1 - 0,64\)

\(\cos^2\alpha = 0,36\)

Теперь извлеките квадратный корень:

\(\cos\alpha = \sqrt{0,36}\)

\(\cos\alpha \approx 0,6\)

Теперь найдем значение \(\sin\beta\):

\(\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1\)

\(\sin^2\beta + (-0,6)^2 = 1\)

\(\sin^2\beta + 0,36 = 1\)

\(\sin^2\beta = 1 - 0,36\)

\(\sin^2\beta = 0,64\)

\(\sin\beta = \sqrt{0,64}\)

\(\sin\beta \approx 0,8\)

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулы:

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\)

\(\sin(\alpha - \beta) = 0,8 \cdot (-0,6) - 0,6 \cdot 0,8\)

\(\sin(\alpha - \beta) = -0,48 - 0,48\)

\(\sin(\alpha - \beta) = -0,96\)

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

\(\cos(\alpha + \beta) = 0,6 \cdot (-0,6) - 0,8 \cdot 0,8\)

\(\cos(\alpha + \beta) = -0,36 - 0,64\)

\(\cos(\alpha + \beta) = -1\)

Итак, значения \(\sin(\alpha - \beta)\) и \(\cos(\alpha + \beta)\) равны -0,96 и -1 соответственно.