Какие значения x являются корнями уравнения 4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x на интервале [3п/2

Какие значения x являются корнями уравнения 4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x на интервале [3п/2, ?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Уравнение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

4 \cos^{3} x + 3 \cos x + 4 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \sin^{2} x

Для начала, перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить следующее:

4 \cos^{3} x + 3 \cos x - 4 \sqrt{3} \sin^{2} x + 4 \sqrt{3} = 0

Обратите внимание, что данное уравнение содержит функции

\cos x

\sin x

, поэтому для решения нам понадобится некоторые свойства этих функций. Воспользуемся тригонометрической формулой

\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x

, чтобы избавиться от функции

\sin^{2} x

4 \cos^{3} x + 3 \cos x - 4 \sqrt{3} (1 - \cos^{2} x) + 4 \sqrt{3} = 0

Распишем и упростим это уравнение дальше:

4 \cos^{3} x + 3 \cos x - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} = 0

Сгруппируем члены с

\cos^{3} x

\cos x

4 \cos^{3} x + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 3 \cos x - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = 0

4 \cos^{3} x + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 3 \cos x = 0

Теперь мы можем вынести

\cos x

за скобку:

\cos x (4 \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \cos x + 3) = 0

Нам нужно найти значения

x

, при которых один из множителей равен нулю:

\cos x = 0 или 4 \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \cos x + 3 = 0

Рассмотрим первое уравнение

\cos x = 0

. Оно имеет решения

\frac{π}{2} + n π

, где

n

- целое число.

Теперь давайте решим второе уравнение

4 \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \cos x + 3 = 0

. Обратите внимание, что это квадратное уравнение относительно

\cos x

. Мы можем решить его, используя дискриминант:

D = (4 \sqrt{3})^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 - 48 = 0

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть только одно решение:

\cos x = \frac{- 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 4} = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Мы знаем, что

\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}

может быть истинным только для определенных значений угла

x

. Это значение выполняется для угла

\frac{5 π}{6} + 2 n π

и для угла

\frac{7 π}{6} + 2 n π

, где

n

- целое число.

Таким образом, значения

x

являющиеся корнями данного уравнения на интервале

[3 π / 2, 2 π)

являются:

x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{9 π}{2}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{21 π}{6}, \dots

Знаешь ответ?

Алгебра

Алгебра