Какие значения x являются корнями уравнения 4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x на интервале [3п/2

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Уравнение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

\[4\cos^3x + 3\cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\sin^2x\]

Для начала, перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить следующее:

\[4\cos^3x + 3\cos x - 4\sqrt{3}\sin^2x + 4\sqrt{3} = 0\]

Обратите внимание, что данное уравнение содержит функции \(\cos x\) и \(\sin x\), поэтому для решения нам понадобится некоторые свойства этих функций. Воспользуемся тригонометрической формулой \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\), чтобы избавиться от функции \(\sin^2x\):

\[4\cos^3x + 3\cos x - 4\sqrt{3}(1 - \cos^2x) + 4\sqrt{3} = 0\]

Распишем и упростим это уравнение дальше:

\[4\cos^3x + 3\cos x - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\cos^2x + 4\sqrt{3} = 0\]

Сгруппируем члены с \(\cos^3x\) и \(\cos x\):

\[4\cos^3x + 4\sqrt{3}\cos^2x + 3\cos x - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 0\]

\[4\cos^3x + 4\sqrt{3}\cos^2x + 3\cos x = 0\]

Теперь мы можем вынести \(\cos x\) за скобку:

\[\cos x(4\cos^2x + 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0\]

Нам нужно найти значения \(x\), при которых один из множителей равен нулю:

\[\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2x + 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0\]

Рассмотрим первое уравнение \(\cos x = 0\). Оно имеет решения \(\frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число.

Теперь давайте решим второе уравнение \(4\cos^2x + 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0\). Обратите внимание, что это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Мы можем решить его, используя дискриминант:

\[D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 - 48 = 0\]

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть только одно решение:

\[\cos x = \frac{-4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Мы знаем, что \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) может быть истинным только для определенных значений угла \(x\). Это значение выполняется для угла \(\frac{5\pi}{6} + 2n\pi\) и для угла \(\frac{7\pi}{6} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, значения \(x\) являющиеся корнями данного уравнения на интервале \([3\pi/2, 2\pi)\) являются:

\[x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{21\pi}{6}, \dots\]