Найдите значения линейной скорости, тангенциального ускорения, центростремительного ускорения, угловой скорости

Для решения данной задачи воспользуемся формулами, связывающими различные характеристики движения материальной точки на окружности.

1. Линейная скорость (\(v\)) - это отношение пройденного расстояния к времени. В данной задаче пройденное расстояние составляет половину длины окружности, то есть \(C/2\), где \(C\) - длина окружности. Длина окружности рассчитывается по формуле \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. Зная радиус (\(r = 50\) см) и применяя указанную формулу, находим длину окружности: \[C = 2\pi \cdot 50 \, \text{см} \approx 314.16 \, \text{см}.\] Таким образом, половина длины окружности равна \(C/2 \approx 157.08\) см.

Далее, мы должны учесть, что материальная точка проходит данное расстояние из состояния покоя. Поэтому используем уравнение равноускоренного движения: \(v^2 = u^2 + 2as\), где \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость (в данном случае нулевая, так как точка начинает с покоя), \(a\) - ускорение, \(s\) - расстояние. Подставив известные значения, получаем: \[v^2 = 0 + 2 \cdot a \cdot s \Rightarrow v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s},\] где \(s = C/2\) - половина длины окружности, а \(a\) - тангенциальное ускорение.

2. Тангенциальное ускорение (\(a_t\)) - это ускорение, направленное по радиусу окружности, т.е. в направлении к центру. Для нахождения \(a_t\) воспользуемся формулой \(a_t = \frac{{v^2}}{{r}}\), где \(v\) - линейная скорость, \(r\) - радиус окружности. Подставляем значения: \[a_t = \frac{{v^2}}{{r}} = \frac{{\left(\sqrt{2 \cdot a \cdot s}\right)^2}}{{r}} = \frac{{2 \cdot a \cdot s}}{{r}}.\] В данной задаче \(r = 50\) см.

3. Центростремительное ускорение (\(a_c\)) - это ускорение направленное к центру окружности. Оно связано с угловым ускорением (\(\alpha\)) следующей формулой: \(a_c = r \cdot \alpha\), где \(r\) - радиус окружности. В данной задаче \(r = 50\) см.

4. Угловая скорость (\(\omega\)) - это отношение угла поворота к времени. Как было сказано ранее, точка проходит половину длины окружности, что означает, что угол поворота составляет \(180\) градусов или \(\pi\) радиан. Применяя формулу \(\omega = \frac{{\theta}}{{t}}\), получаем \(\omega = \frac{{\pi}}{{t}}\), где \(t\) - время.

5. Угловое ускорение (\(\alpha\)) может быть найдено с использованием уравнения равноускоренного вращательного движения: \(\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \theta\), где \(\omega\) - конечная угловая скорость, \(\omega_0\) - начальная угловая скорость (в данном случае равна нулю, так как точка начинает с покоя), \(\alpha\) - угловое ускорение, \(\theta\) - угол поворота (в данной задаче равен \(\pi\)). Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно \(\alpha\): \[\alpha = \frac{{\omega^2 - \omega_0^2}}{{2 \cdot \theta}} = \frac{{\left(\frac{{\pi}}{{t}}\right)^2 - 0}}{{2 \cdot \pi}} = \frac{{\pi}}{{2 \cdot t^2}}.\]

Таким образом, получаем значения характеристик движения материальной точки:

Линейная скорость: \(v \approx \sqrt{2 \cdot a \cdot s}\) соответственно значения \(v\) зависят от ускорения \(a\) и расстояния \(s\).

Тангенциальное ускорение: \(a_t \approx \frac{{2 \cdot a \cdot s}}{{r}}\) соответственно значения \(a_t\) зависят от ускорения \(a\), расстояния \(s\) и радиуса \(r\).

Центростремительное ускорение: \(a_c = r \cdot \alpha\) соответственно значения \(a_c\) зависят от радиуса \(r\) и углового ускорения \(\alpha\).

Угловая скорость: \(\omega = \frac{{\pi}}{{t}}\), где \(t\) - время.

Угловое ускорение: \(\alpha = \frac{{\pi}}{{2 \cdot t^2}}\), где \(t\) - время.

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам понять, как найти значения всех указанных характеристик движения материальной точки. Если остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!