Найдите значения cos (t+6п), tg(t-3п) и sin(-t), если ctg^2 t=4/9 и 3п/2 < t

Хорошо, начнем с заданного условия: \(\cot^2 t = \frac{4}{9}\) и \(\frac{3\pi}{2} < t\).

Давайте посмотрим на первое уравнение. Чтобы найти значение \(t\), нам нужно избавиться от квадрата и взять котангенс от обеих сторон уравнения:

\[\cot^2 t = \frac{4}{9}\]
\[\cot t = \pm \frac{2}{3}\]

Теперь, так как \(\frac{3\pi}{2} < t\), мы знаем, что \(t\) находится в третьем квадранте, где котангенс отрицательный. Таким образом, мы выбираем отрицательное значение \(\cot t\): \(\cot t = -\frac{2}{3}\).

Теперь, чтобы найти значения \(\cos(t + 6\pi)\), \(\tan(t - 3\pi)\) и \(\sin(-t)\), мы можем использовать тригонометрические формулы для суммы и разности углов:

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]

Давайте начнем с \(\cos(t + 6\pi)\):

\[\cos(t + 6\pi) = \cos t \cos 6\pi - \sin t \sin 6\pi\]

Так как \(\cos 6\pi\) равно 1, а \(\sin 6\pi\) равно 0 (периодичность тригонометрических функций), мы получаем:

\[\cos(t + 6\pi) = \cos t\]

Теперь рассмотрим \(\tan(t - 3\pi)\):

\[\tan(t - 3\pi) = \frac{\sin(t - 3\pi)}{\cos(t - 3\pi)}\]

Опять же, так как \(\cos 3\pi\) равно -1, а \(\sin 3\pi\) равно 0, мы получаем:

\[\tan(t - 3\pi) = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t\]

Наконец, найдем \(\sin(-t)\):

\[\sin(-t) = -\sin t\]

Таким образом, получаем итоговые значения:

\(\cos(t + 6\pi) = \cos t\)
\(\tan(t - 3\pi) = \tan t\)
\(\sin(-t) = -\sin t\)

Обратите внимание, что значения \(\cos(t + 6\pi)\), \(\tan(t - 3\pi)\) и \(\sin(-t)\) равны значениям соответствующих тригонометрических функций угла \(t\), поскольку добавленные к нему углы являются полными оборотами (6\(\pi\)) и отрицательным знаком.