Найдите значение синуса угла в треугольнике ABC, если известно, что длины его сторон равны 50, 50

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(a, b, c\) - длины сторон треугольника, а \(A, B, C\) - соответствующие им углы.

В нашем случае длины двух сторон треугольника ABC равны 50, 50. Обозначим эти стороны как \(a\) и \(b\). Таким образом, \(a = 50\) и \(b = 50\).

Мы хотим найти значение \(\sin(C)\). Обозначим угол C как \(C\).

Используя теорему синусов, мы можем записать:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{50}{\sin(A)} = \frac{50}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Так как \(a = b = 50\), мы можем записать:

\[\frac{50}{\sin(A)} = \frac{50}{\sin(B)}\]

Поскольку это равенство выполняется для двух равных чисел, то и его знаменатель также должен быть равным:

\[\sin(A) = \sin(B)\]

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, у нас есть:

\[A + B + C = 180^\circ\]

\(A\) и \(B\) - равные углы, поэтому каждый из них равен \(\frac{1}{2}(180 - C)\):

\[A = B = \frac{1}{2}(180 - C)\]

Теперь мы можем записать наше уравнение:

\[\sin\left(\frac{1}{2}(180 - C)\right) = \sin\left(\frac{1}{2}(180 - C)\right)\]

Мы знаем, что \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), если \(x = 60^\circ\). Поэтому:

\[\sin\left(\frac{1}{2}(180 - C)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(\frac{1}{2}(180 - C)\right)\]

Чтобы найти значение угла \(C\), мы можем использовать обратную функцию синуса (арксинус):

\[\frac{1}{2}(180 - C) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Решим это уравнение для \(C\):

\[C = 180 - 2 \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Теперь, чтобы найти значение синуса угла \(C\), мы можем подставить значение \(C\) в функцию синуса:

\[\sin(C) = \sin\left(180 - 2 \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\]

Применим тригонометрическое тождество для \(\sin(180 - \theta) = \sin(\theta)\):

\[\sin(C) = \sin\left(2 \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\]

Мы знаем, что \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\). Таким образом:

\[\sin(C) = 2\sin\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\]

Обратите внимание, что \(\sin(\arcsin(x)) = x\). Таким образом, мы получаем:

\[\sin(C) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\]

Мы знаем, что \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\). Поэтому:

\[\cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\]

Решим это выражение:

\[\cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \sqrt{1 - \frac{3}{4}}\]

\[\cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \sqrt{\frac{1}{4}}\]

\[\cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем вычислить значение синуса угла \(C\):

\[\sin(C) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[\sin(C) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\]

\[\sin(C) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, значение синуса угла \(C\) в треугольнике ABC равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).