Найдите значение синуса угла в треугольнике ABC, если известно, что длины его сторон равны 50, 50

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:

$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

где $a,b,c$ - длины сторон треугольника, а $A,B,C$ - соответствующие им углы.

В нашем случае длины двух сторон треугольника ABC равны 50, 50. Обозначим эти стороны как $a$ и $b$. Таким образом, $a=50$ и $b=50$.

Мы хотим найти значение $\sin (C)$. Обозначим угол C как $C$.

Используя теорему синусов, мы можем записать:

$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{50}{\sin (A)}=\frac{50}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Так как $a=b=50$, мы можем записать:

$$\frac{50}{\sin (A)}=\frac{50}{\sin (B)}$$

Поскольку это равенство выполняется для двух равных чисел, то и его знаменатель также должен быть равным:

$$\sin (A)=\sin (B)$$

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, у нас есть:

$$A+B+C={180}^{\circ }$$

$A$ и $B$ - равные углы, поэтому каждый из них равен $\frac{1}{2}(180-C)$:

$$A=B=\frac{1}{2}(180-C)$$

Теперь мы можем записать наше уравнение:

$$\sin (\frac{1}{2}(180-C))=\sin (\frac{1}{2}(180-C))$$

Мы знаем, что $\sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, если $x={60}^{\circ }$. Поэтому:

$$\sin (\frac{1}{2}(180-C))=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь мы можем решить это уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\frac{1}{2}(180-C))$$

Чтобы найти значение угла $C$, мы можем использовать обратную функцию синуса (арксинус):

$$\frac{1}{2}(180-C)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Решим это уравнение для $C$:

$$C=180-2\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Теперь, чтобы найти значение синуса угла $C$, мы можем подставить значение $C$ в функцию синуса:

$$\sin (C)=\sin (180-2\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))$$

Применим тригонометрическое тождество для $\sin (180-\theta )=\sin (\theta )$:

$$\sin (C)=\sin (2\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))$$

Мы знаем, что $\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$. Таким образом:

$$\sin (C)=2\sin (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))\cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))$$

Обратите внимание, что $\sin (\arcsin (x))=x$. Таким образом, мы получаем:

$$\sin (C)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))$$

Мы знаем, что ${\cos }^2(\theta )=1-{\sin }^2(\theta )$. Поэтому:

$$\cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$$

Решим это выражение:

$$\cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))=\sqrt{1-\frac{3}{4}}$$

$$\cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

$$\cos (\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))=\frac{1}{2}$$

Теперь мы можем вычислить значение синуса угла $C$:

$$\sin (C)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$

$$\sin (C)=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}$$

$$\sin (C)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, значение синуса угла $C$ в треугольнике ABC равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.