Найдите значение с, при котором прямая у=5х+5 будет касательной к графику функции у=8х^2+29х+с

Хорошо, чтобы найти значение \(c\), при котором прямая \(у = 5x + 5\) будет касательной к графику функции \(у = 8x^2 + 29x + c\), мы должны найти точку пересечения между этой прямой и кривой функции и уравнять их производные.

Первым шагом найдем точку пересечения прямой \(у = 5x + 5\) и графика функции \(у = 8x^2 + 29x + c\). Для этого приравняем их и решим получившееся уравнение:

\[5x + 5 = 8x^2 + 29x + c\]

Теперь произведем упрощение:

\[8x^2 + 24x + (c -5) = 0\]

Далее, чтобы прямая \(у = 5x + 5\) была касательной к графику функции, производная функции должна равняться 5. Поэтому найдем производную функции \(у = 8x^2 + 29x + c\) и приравняем ее к 5:

\[f"(x) = 16x + 29 = 5\]

Теперь решим получившееся уравнение:

\[16x + 29 = 5\]

\[16x = -24\]

\[x = -\frac{3}{2}\]

Подставим значение \(x\) обратно в уравнение \(5x + 5\) для нахождения соответствующего значения \(y\):

\[y = 5\left(-\frac{3}{2}\right) + 5\]

\[y = -\frac{15}{2} + 5\]

\[y = -\frac{5}{2}\]

Таким образом, при \(x = -\frac{3}{2}\) и \(y = -\frac{5}{2}\) прямая \(у = 5x + 5\) будет касательной к графику функции \(у = 8x^2 + 29x + c\).

Так как касательная должна пересекать график только в одной точке, то значение \(c\) должно быть равным значению \(y\) в этой точке. Так как \(y = -\frac{5}{2}\), то значение \(c\) равно \(-\frac{5}{2}\).

Итак, значение \(c\) равно \(-\frac{5}{2}\), при котором прямая \(у = 5x + 5\) будет касательной к графику функции \(у = 8x^2 + 29x + с\).