Найдите значение переменной х, если векторы а и б являются коллинеарными и имеют одинаковые модули

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Дано, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются коллинеарными и имеют одинаковые модули.

Когда векторы коллинеарны, это значит, что они направлены вдоль одной и той же прямой. Их направления могут различаться только по коэффициенту пропорциональности. Давайте обозначим этот коэффициент как \(k\), тогда:

\(\vec{a} = k\vec{b}\)

Здесь вектор \(\vec{a}\) равен скалярному произведению \(k\) и вектора \(\vec{b}\).

Дано также, что модули векторов одинаковы. Модуль вектора - это длина вектора. Пусть \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) обозначают модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Теперь мы можем записать условие:

\( |\vec{a}| = |\vec{b}|\)

Так как модули векторов одинаковы, то:

\( |k\vec{b}| = |\vec{b}|\)

Модуль вектора можно найти по формуле:

\( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \)

где \(v_x\), \(v_y\), и \(v_z\) - компоненты вектора \(\vec{v}\) по осям \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно.

Применяя эту формулу к вектору \(\vec{b}\), получаем:

\( |k\vec{b}| = \sqrt{(kb_x)^2 + (kb_y)^2 + (kb_z)^2} \)

Согласно первому условию, \(\vec{a} = k\vec{b}\), поэтому компоненты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) совпадают:

\(a_x = k \cdot b_x\)

\(a_y = k \cdot b_y\)

\(a_z = k \cdot b_z\)

Таким образом, можно записать:

\( |\vec{a}| = |k\vec{b}| = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2} \)

Подставляем выражения для \(a_x\), \(a_y\), и \(a_z\):

\( \sqrt{(k\cdot b_x)^2 + (k\cdot b_y)^2 + (k\cdot b_z)^2} \)

Сравнивая это выражение с общим условием \( |\vec{a}| = |\vec{b}|\), получаем:

\( \sqrt{k^2\cdot(b_x^2 + b_y^2 + b_z^2)} = \sqrt{(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2} \)

Упрощая это уравнение, получаем:

\( k^2\cdot(b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) = (b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2 \)

Делаем замену \(b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 = c^2\), где \(c\) - это модуль вектора \(\vec{b}\).

\( k^2\cdot c^2 = c^2 \)

Делим обе части уравнения на \(c^2\):

\( k^2 = 1 \)

Из этого уравнения можно найти значение \(k\):

\( k = \pm 1 \)

Теперь, зная значение \(k\), мы можем найти значение переменной \(x\). Обратите внимание, что \(k = \frac{a_x}{b_x}\). Подставляем значения \(k\):

\( \frac{a_x}{b_x} = \pm 1 \)

Получаем два возможных значения:

\( a_x = b_x \) или \( a_x = -b_x \)

Итак, значение переменной \(x\) равно \(b_x\) или \(-b_x\).

Таким образом, мы решаем задачу и находим, что значение переменной \(x\) равно \(b_x\) или \(-b_x\).