Найдите значение косинуса угла между наклонной линией и плоскостью альфа. Длина перпендикуляра, опущенного из точки

Чтобы найти значение косинуса угла между наклонной линией и плоскостью альфа, нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами и соответствующими формулами.

По условию задачи, длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость альфа, в два раза меньше длины наклонной линии, проведенной из той же точки к плоскости альфа. Обозначим длину наклонной линии как \( a \), а длину перпендикуляра как \( b \). Таким образом, \( b = \frac{a}{2} \).

Знаем, что косинус угла между векторами \( \mathbf{v} \) и \( \mathbf{u} \) выражается следующей формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{u}\|} \]

где \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \) - скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{v}\| \) и \( \|\mathbf{u}\| \) - их длины.

В нашем случае, наклонная линия - это вектор нормали к плоскости, а перпендикуляр - это вектор, проведенный из точки на плоскость альфа к этой плоскости. Обозначим вектор наклонной линии как \( \mathbf{v} \), а вектор перпендикуляра как \( \mathbf{u} \).

Так как длина наклонной линии в два раза больше длины перпендикуляра (\( a = 2b \)), то \(\|\mathbf{v}\| = 2\|\mathbf{u}\|\).

Подставим эти значения в формулу для косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{u}\|} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{2\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{u}\|} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{2\|\mathbf{u}\|^2} \]

Теперь остается найти значение скалярного произведения \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \).

Мы знаем, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{u}\| \cdot \cos(\theta) \]

Из условия задачи имеем \( \|\mathbf{v}\| = 2\|\mathbf{u}\| \), следовательно:

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 2\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{u}\| \cdot \cos(\theta) \]

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 2\|\mathbf{u}\|^2 \cdot \cos(\theta) \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу для косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{2\|\mathbf{u}\|^2} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{2\|\mathbf{u}\|^2 \cdot \cos(\theta)}{2\|\mathbf{u}\|^2} \]

\[ \cos(\theta) = \cos(\theta) \]

Таким образом, косинус угла между наклонной линией и плоскостью альфа равен единице (1).

Ответ: 1.