Найдите значение коэффициента сопротивления среды r, если тело массой 48г совершает затухающие колебания на пружине

Для определения значения коэффициента сопротивления среды \(r\) в данной задаче, мы можем использовать закон затухающих колебаний. Этот закон гласит, что амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону с течением времени.

Для начала, определим время, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в \(e=2,718\).

Мы знаем, что в экспоненциальной функции \(e^x\), где \(e\) - это число Эйлера, амплитуда \(A\) колебаний будет убывать по следующей формуле:

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma \cdot t}\]

где \(A(t)\) - амплитуда колебаний во времени \(t\), \(A_0\) - начальная амплитуда колебаний, а \(\gamma\) - коэффициент затухания, который связан с коэффициентом сопротивления среды \(r\) следующей формулой: \(\gamma = \frac{r}{2m}\).

Мы можем использовать данную формулу для определения значения времени \(t\), при котором амплитуда колебаний уменьшается в \(e=2,718\):

\[e^{-\gamma \cdot t} = \frac{A(t)}{A_0} = e\]

Для решения этого уравнения нам потребуется натуральный логарифм. Беря натуральный логарифм от обеих сторон уравнения, мы получаем:

\[-\gamma \cdot t = \ln(e)\]

Поскольку \(\ln(e) = 1\), мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

\[-\gamma \cdot t = 1\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно времени \(t\):

\[t = \frac{1}{\gamma}\]

Таким образом, чтобы определить время, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в \(e=2,718\), нам нужно найти обратное значение коэффициента затухания \(\gamma\).

Согласно условию задачи, за время \(2,5\) с колебательная система теряет \(80\%\) своей энергии. Это означает, что остаётся \(20\%\) начальной энергии. Связывая это с амплитудой смещения, мы можем сказать, что амплитуда смещения будет убывать до \(20\%\) от начальной амплитуды \(A_0\).

Теперь, используя формулу для амплитуды смещения, мы можем записать:

\[0.2 \cdot A_0 = A_0 \cdot e^{-\gamma \cdot 2.5}\]

Сокращая \(A_0\), мы можем записать это уравнение в следующем виде:

\[0.2 = e^{-\gamma \cdot 2.5}\]

И снова, чтобы решить это уравнение, мы применим натуральный логарифм:

\[-\gamma \cdot 2.5 = \ln(0.2)\]

Решая это уравнение относительно коэффициента затухания \(\gamma\):

\[\gamma = -\frac{\ln(0.2)}{2.5}\]

И, наконец, чтобы определить значение коэффициента сопротивления среды \(r\), мы можем использовать следующую формулу:

\(r = 2m \cdot \gamma\)

Подставляя значение массы \(m = 48\) г и полученное значение \(\gamma\), мы можем найти \(r\).