Найдите значение коэффициента сопротивления среды r, если тело массой 48г совершает затухающие колебания на пружине

Для определения значения коэффициента сопротивления среды $r$ в данной задаче, мы можем использовать закон затухающих колебаний. Этот закон гласит, что амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону с течением времени.

Для начала, определим время, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в $e=2,718$.

Мы знаем, что в экспоненциальной функции $e^x$, где $e$ - это число Эйлера, амплитуда $A$ колебаний будет убывать по следующей формуле:

$$A(t)=A_0\cdot e^{-\gamma \cdot t}$$

где $A(t)$ - амплитуда колебаний во времени $t$, $A_0$ - начальная амплитуда колебаний, а $\gamma$ - коэффициент затухания, который связан с коэффициентом сопротивления среды $r$ следующей формулой: $\gamma =\frac{r}{2m}$.

Мы можем использовать данную формулу для определения значения времени $t$, при котором амплитуда колебаний уменьшается в $e=2,718$:

$$e^{-\gamma \cdot t}=\frac{A(t)}{A_0}=e$$

Для решения этого уравнения нам потребуется натуральный логарифм. Беря натуральный логарифм от обеих сторон уравнения, мы получаем:

$$-\gamma \cdot t=\ln (e)$$

Поскольку $\ln (e)=1$, мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

$$-\gamma \cdot t=1$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно времени $t$:

$$t=\frac{1}{\gamma }$$

Таким образом, чтобы определить время, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в $e=2,718$, нам нужно найти обратное значение коэффициента затухания $\gamma$.

Согласно условию задачи, за время $2,5$ с колебательная система теряет $80\mathrm{\%}$ своей энергии. Это означает, что остаётся $20\mathrm{\%}$ начальной энергии. Связывая это с амплитудой смещения, мы можем сказать, что амплитуда смещения будет убывать до $20\mathrm{\%}$ от начальной амплитуды $A_0$.

Теперь, используя формулу для амплитуды смещения, мы можем записать:

$$0.2\cdot A_0=A_0\cdot e^{-\gamma \cdot 2.5}$$

Сокращая $A_0$, мы можем записать это уравнение в следующем виде:

$$0.2=e^{-\gamma \cdot 2.5}$$

И снова, чтобы решить это уравнение, мы применим натуральный логарифм:

$$-\gamma \cdot 2.5=\ln (0.2)$$

Решая это уравнение относительно коэффициента затухания $\gamma$:

$$\gamma =-\frac{\ln (0.2)}{2.5}$$

И, наконец, чтобы определить значение коэффициента сопротивления среды $r$, мы можем использовать следующую формулу:

$r=2m\cdot \gamma$

Подставляя значение массы $m=48$ г и полученное значение $\gamma$, мы можем найти $r$.