Найдите значение 12cos^2(2t-270), если известно, что cos4t=2/3

К сожалению, так как это текстовая среда, я не могу использовать математический текст с формулами и подобными вещами. Однако, я могу объяснить вам, как получить ответ на вашу задачу с пошаговым решением.

Используем тригонометрическое тождество: \(\cos{(2a)} = 2\cos^2{(a)} - 1\)

У нас дано, что \(\cos{4t} = \frac{2}{3}\), и мы должны найти значение выражения \(12\cos^2{(2t-270)}\).

Для начала, заменим значение \(\cos{4t}\) в соответствии с тождеством:

\(\cos{(4t)} = 2\cos^2{(2t)} - 1\)

Теперь заменим \(2t\) на \(x\) для удобства:

\(\cos{(4t)} = 2\cos^2{(x)} - 1\)

Подставляя данное значение \(\cos{4t} = \frac{2}{3}\), получаем:

\(\frac{2}{3} = 2\cos^2{(x)} - 1\)

Решим это уравнение относительно \(\cos^2{(x)}\):

\(\frac{2}{3} + 1 = 2\cos^2{(x)}\)

\(\frac{5}{3} = 2\cos^2{(x)}\)

Теперь найдем значение \(\cos{(x)}\):

\(\cos{(x)} = \sqrt{\frac{5}{6}}\)

Заметим, что у нас \(x = 2t - 270\). Чтобы выразить \(t\), заменим \(x\):

\(2t - 270 = x\)

\(2t = x + 270\)

\(t = \frac{x + 270}{2}\)

Теперь, используя известное значение \(x\), найдем \(t\):

\(t = \frac{2t - 270 + 270}{2}\)

\(t = \frac{2t}{2}\)

\(t = t\)

Таким образом, значение выражения \(12\cos^2{(2t-270)}\) равно \(12\cos^2{(x)}\) и, подставив значение \(\cos{(x)} = \sqrt{\frac{5}{6}}\), получим:

\(12\cos^2{(x)} = 12\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^2\)

\(12\cos^2{(x)} = 12\cdot\frac{5}{6}\)

\(12\cos^2{(x)} = 10\)

Таким образом, значение выражения \(12\cos^2{(2t-270)}\) равно \(10\).