Найдите все решения уравнения x^2 − y^2 = 12 в целых числах. Если есть несколько решений, введите каждое из

Для решения этого уравнения \(x^2 - y^2 = 12\) в целых числах, мы можем использовать метод разности квадратов. Давайте разберемся пошагово.

1. Приведем уравнение к виду разности квадратов:
\[x^2 - y^2 = 12\]
\[(x + y)(x - y) = 12\]

2. Теперь рассмотрим все возможные комбинации \(x + y\) и \(x - y\), которые дадут нам произведение 12.
Возможные комбинации:
\((x + y, x - y) = (1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)\).

3. Решим полученные системы уравнений:

Для \((x + y = 1, x - y = 12)\), сложим оба уравнения:
\(2x = 13\), откуда \(x = \frac{13}{2}\), что не является целым числом. Исключим этот вариант.

Для \((x + y = 2, x - y = 6)\), сложим оба уравнения:
\(2x = 8\), откуда \(x = 4\). Подставим это значение обратно в одно из уравнений:
\(4 + y = 2\), откуда \(y = -2\).
Получаем решение \((4, -2)\).

Для \((x + y = 3, x - y = 4)\), сложим оба уравнения:
\(2x = 7\), откуда \(x = \frac{7}{2}\), что не является целым числом. Исключим этот вариант.

Для \((x + y = -1, x - y = -12)\), сложим оба уравнения:
\(2x = -13\), откуда \(x = -\frac{13}{2}\), что не является целым числом. Исключим этот вариант.

Для \((x + y = -2, x - y = -6)\), сложим оба уравнения:
\(2x = -8\), откуда \(x = -4\). Подставим это значение обратно в одно из уравнений:
\(-4 + y = -2\), откуда \(y = 2\).
Получаем решение \((-4, 2)\).

Для \((x + y = -3, x - y = -4)\), сложим оба уравнения:
\(2x = -7\), откуда \(x = -\frac{7}{2}\), что не является целым числом. Исключим этот вариант.

4. Итак, мы получили два целочисленных решения уравнения \(x^2 - y^2 = 12\): \((4, -2)\) и \((-4, 2)\).

Ответ: \(4 -2, -4 2\).