Найдите все решения уравнения 4/sin^2(7pi/2-x) - 11/cosx + 6 = 0 в интервале (2pi; 7pi/2

Хорошо, разберем пошагово решение данного уравнения.

Исходное уравнение: \(\frac{4}{\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)} - \frac{11}{\cos{x}} + 6 = 0\).

1. Преобразуем данное уравнение, учитывая, что \(\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right) = \cos^2{a}\). Заменим \(\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)\) на \(\cos^2{x}\):

\(\frac{4}{\cos^2{x}} - \frac{11}{\cos{x}} + 6 = 0\).

2. Для того чтобы упростить уравнение, введем временную переменную \(t = \cos{x}\), тогда уравнение приобретет вид:

\(\frac{4}{t^2} - \frac{11}{t} + 6 = 0\).

3. Умножим все члены уравнения на \(t^2\) для того, чтобы избавиться от знаменателя:

\(4 - 11t + 6t^2 = 0\).

4. Перепишем полученное уравнение в стандартной форме:

\(6t^2 - 11t + 4 = 0\).

5. Используем квадратное уравнение для нахождения корней. Коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) в данном случае равны: \(a = 6\), \(b = -11\), \(c = 4\).

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25\).

Так как дискриминант \(D\) положителен, уравнение имеет два действительных корня.

6. Вычислим корни уравнения, используя формулу для квадратных уравнений:

\(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Таким образом, имеем:

\(t_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 5}{12}\).

\(t_1 = \frac{11 + 5}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\).

\(t_2 = \frac{11 - 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

7. Имея значения \(t_1\) и \(t_2\), найдем значения \(\cos{x}\):

\(\cos{x_1} = \frac{4}{3}\).

\(\cos{x_2} = \frac{1}{2}\).

8. Чтобы получить решения в интервале \((2\pi; \frac{7\pi}{2})\), найдем соответствующие значения \(x\) из данных значений \(\cos{x}\). Для этого воспользуемся соответствующими обратными тригонометрическими функциями.

\(\cos{x_1} = \frac{4}{3}\), так как интервал указан как от \(2\pi\) до \(\frac{7\pi}{2}\), решением будет \(x_1 = \arccos\left(\frac{4}{3}\right)\) для данного значения \(\cos{x_1}\) в указанном интервале. Очень важно проверить, что данное значение арккосинуса принадлежит указанному интервалу.

\(\cos{x_2} = \frac{1}{2}\), так как интервал указан как от \(2\pi\) до \(\frac{7\pi}{2}\), решением будет \(x_2 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\) для данного значения \(\cos{x_2}\) в указанном интервале. Очень важно проверить, что данное значение арккосинуса принадлежит указанному интервалу.

Таким образом, решения уравнения \(4/\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}-x\right) - 11/\cos{x} + 6 = 0\) в интервале \((2\pi; \frac{7\pi}{2})\) равны:

\(x_1 = \arccos\left(\frac{4}{3}\right)\) и \(x_2 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\)