Найдите угол между точками А(0; -3), В(-3; 6), и С(3; 3) на координатной плоскости

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первым шагом нам нужно найти длины сторон треугольника ABC, чтобы применить теорему косинусов. Найдем длины сторон AB, BC и AC.

Для нахождения длины стороны AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения, получим:

\[AB = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (6 - (-3))^2}\]

\[AB = \sqrt{(-3)^2 + 9^2}\]

\[AB = \sqrt{9 + 81}\]

\[AB = \sqrt{90}\]

\[AB \approx 9.49\]

Аналогичным образом находим длины сторон BC и AC:

\[BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 6)^2}\]
\[BC = \sqrt{6^2 + (-3)^2}\]
\[BC = \sqrt{36 + 9}\]
\[BC = \sqrt{45}\]
\[BC \approx 6.71\]

\[AC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - (-3))^2}\]
\[AC = \sqrt{3^2 + 6^2}\]
\[AC = \sqrt{9 + 36}\]
\[AC = \sqrt{45}\]
\[AC \approx 6.71\]

Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла между сторонами AB и AC.

Теорема косинусов имеет следующий вид:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где a, b и c - длины сторон треугольника, а C - искомый угол.

Применяя формулу к данной задаче, получаем:

\[(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC) \cdot \cos(C)\]

Подставляем значения и находим косинус угла C:

\[(6.71)^2 = (9.49)^2 + (6.71)^2 - 2(9.49)(6.71) \cdot \cos(C)\]

\[45 = 89.96 + 45 - 2(9.49)(6.71) \cdot \cos(C)\]

\[45 = 134.96 - 127.13 \cdot \cos(C)\]

\[127.13 \cdot \cos(C) = 134.96 - 45\]

\[127.13 \cdot \cos(C) = 89.96\]

\[\cos(C) = \frac{89.96}{127.13}\]

\[\cos(C) \approx 0.707\]

Теперь, чтобы найти значения угла C, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус). Подставляем найденное значение косинуса:

\[C \approx \arccos(0.707)\]

Пользуясь калькулятором или таблицей значений, находим:

\[C \approx 45°\]

Таким образом, угол между точками А, В и С на координатной плоскости равен приблизительно 45 градусов.