Вариант 1 1. Если ∠A = 45°, ∠B = 60°, и ВС = 3√2 в треугольнике ABC, то как найти AC? 2. Если две стороны треугольника

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1. Для нахождения стороны AC в треугольнике ABC, когда известны значения углов ∠A и ∠B, а также длина стороны ВС, мы можем использовать теорему косинусов. Данная теорема устанавливает следующую связь между длинами сторон треугольника и значениями его углов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\]

В нашем случае, у нас известно, что ∠A = 45°, ∠B = 60° и ВС = 3√2. Подставим эти значения в формулу:

\[AC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(60°)\]

\[AC^2 = 18 + 18 - 18 \cdot \cos(60°)\]

\[AC^2 = 36 - 18 \cdot \frac{1}{2}\]

\[AC^2 = 27\]

Теперь возьмём квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти значение AC:

\[AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, длина стороны AC равна 3√3.

2. Дано, что две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Для нахождения третьей стороны треугольника, мы можем использовать теорему косинусов, поскольку мы знаем две стороны и угол между ними.

Теорема косинусов определяет связь между длинами сторон треугольника и углами:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)\]

В нашем случае, у нас известно, что стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120°)\]

\[c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos(120°)\]

\[c^2 = 113 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 113 + 56 = 169\]

Теперь возьмём квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти значение третьей стороны треугольника:

\[c = \sqrt{169} = 13\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна 13 см.

3. Для определения типа треугольника ABC, заданного координатами его вершин A(3; 9), В(0; 6), С(4; 2), мы можем использовать расстояние между вершинами треугольника. Расстояние между двумя точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) может быть найдено с помощью формулы расстояния между точками:

\[d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}\]

Теперь найдём расстояния между всеми парами вершин.

AB:
\[d_{AB} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\]

BC:
\[d_{BC} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\]

AC:
\[d_{AC} = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\]

Теперь посмотрим на найденные значения.

Если все три стороны равны, то треугольник ABC - равносторонний треугольник.

Если две стороны равны, то треугольник ABC - равнобедренный треугольник. В нашем случае, ни одна пара сторон не является равной.

В остальных случаях, треугольник ABC - разносторонний треугольник. В нашем случае, все стороны имеют разные длины.

Таким образом, треугольник ABC является разносторонним треугольником.

4. В треугольнике ABC, где AB = BC, ∠CAB = 30°, AE - биссектриса и BE = 8 см, мы можем найти площадь треугольника ABC.

Для нахождения площади треугольника, когда известны длины двух сторон и значение между ними угла, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle CAB)\]

В нашем случае, нам известно, что AB = BC, ∠CAB = 30° и BE = 8 см. Так как BE - биссектриса, то AE также равна 8 см.

Подставим эти значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AB \cdot \sin(30°)\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB^2 \cdot \frac{1}{2}\]

\[S = \frac{AB^2}{4}\]

Теперь нам нужно найти значение AB. Для этого мы можем использовать теорему косинусов, так как мы знаем две стороны треугольника и угол между ними:

\[AB^2 = BE^2 + AE^2 - 2 \cdot BE \cdot AE \cdot \cos(\angle CAB)\]

\[AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(30°)\]

\[AB^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[AB^2 = 128 - 128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[AB^2 = 128 - 64 \cdot \sqrt{3}\]

Теперь найдём площадь треугольника ABC:

\[S = \frac{128 - 64 \cdot \sqrt{3}}{4} = 32 - 16 \cdot \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(32 - 16 \cdot \sqrt{3}\).